Альтернативность

Альтернативность (бинарная ассоциативность) — свойство бинарной операции $\circ$, являющееся ослабленным вариантом ассоциативности: для любых элементов $x,y$

• $(x\circ y)\circ y=x\circ (y\circ y)$ — правая альтернативность,
• $y\circ (y\circ x)=(y\circ y)\circ x$ — левая альтернативность.

Всякая ассоциативная операция является альтернативной; обратное в общем случае неверно: например, умножение октонионов альтернативно, но не ассоциативно.

Во всякой магме, пара элементов которой порождает ассоциативную подмагму, бинарная операция альтернативна. Обратное в общем случае неверно, но в случае неассоциативных колец из альтернативности кольца следует ассоциативность порождённых каждой парой элементов подколец (теорема Артина).

Исторически первый пример альтернативной структуры — числа Кэли, образующие альтернативное тело; важные приложения в физике имеются у альтернативных алгебр.

Другой вариант ослабления ассоциативности — степенная ассоциативность. Иногда это свойство считается более слабым, чем альтернативность, поскольку при некоторых дополнительных условиях из альтернативности следует степенная ассоциативность, но в общем случае это не так: например, для магмы из элементов $e_{\star },e_1,e_2\dots$ с альтернативным умножением, введённым следующим образом:

• $e_i\circ e_j=e_{i+j}$ кроме $e_3\circ e_3=e_{\star }$,
• $e_{\star }\circ e_i=e_i\circ e_{\star }=e_{i+6}$,
• $e_{\star }\circ e_{\star }=e_{12}$

степенная ассоциативность не выполняется:

$((e_1\circ e_1)\circ e_1)\circ ((e_1\circ e_1)\circ e_1)=e_3\circ e_3=e_{\star }\ne e_6=e_1^6$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Из