Степенная ассоциативность

Степенная ассоциативность — ослабленная форма ассоциативности, используемая в общей алгебре.

Алгебраическая система с заданным умножением (например, магма, квазигруппа, почтикольцо, алгебра над кольцом) называется степенно-ассоциативной, если её подсистема, порождаемая любым элементом, ассоциативна. Это значит, что если элемент $x$ умножается на себя несколько раз, то не важно, в какой последовательности производится умножение, например, $x(x(xx))=(x(xx))x=(xx)(xx)$. Это более сильное условие, чем, например, $(xx)x=x(xx)$ для любого $x$, но более слабое, чем ассоциативность.

Другой вариант ослабления ассоциативности — альтернативность; при некоторых дополнительных условиях она сильнее степенной ассоциативности (например, умножение в алгебре седенионов степенно-ассоциативно, но не альтернативно, тогда как умножение в алгебре октонионов обладает обоими свойствами), но в общем случае это не так.

Наименование связано с тем, что для степенно-ассоциативной мультипликативной операции $\circ$ можно ввести нотацию возведения в степень:

$x^1=x$, $x^{n+1}=x^n\circ x$

без уточнения правил группировки вхождений элемента.

Литература

• Шаблон:Книга