Альтернативная алгебра

Альтернативная алгебра — алгебра над полем, умножение в которой является альтернативным. Каждая ассоциативная алгебра, очевидно, альтернативна, однако существуют и неассоциативные альтернативные алгебры, примером которых являются октавы. Обобщение октав, седенионы, уже не обладают свойством альтернативности.

Связь с алгеброй Мальцева

Для альтернативной алгебры и алгебры Мальцева существует аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта. Имеется следующая взаимосвязь между альтернативными алгебрами и алгебрами Мальцева: замена умножения $ab$ в альтернативной алгебре M операцией коммутатора $[a,b]=ab-ba$, превращает её в алгебру Мальцева $M^{(-)}$.

Ассоциатор

С использованием ассоциатора

$[x,y,z]=(xy)z-x(yz)$

определяющие альтернативную алгебру тождества примут вид

$[x,x,y]=0$

$[y,x,x]=0$

для любых элементов $x$ и $y.$ Отсюда, в силу полилинейности ассоциатора, несложно получить, что

$[x,y,z]+[y,x,z]=0$

$[x,y,z]+[x,z,y]=0$

Таким образом, в альтернативной алгебре ассоциатор является альтернативной операцией:

$[x,y,z]=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\sigma [\sigma (x),\sigma (y),\sigma (z)]$

где $\sigma$ — перестановка элементов $x,y,z,$ $\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\sigma$ — чётность этой перестановки. Верно и обратное: если ассоциатор альтернативен, то кольцо альтернативно. Именно из-за связи с альтернативностью ассоциатора альтернативные кольца получили такое название.

Аналогично можно показать, что для альтернативности ассоциатора достаточно выполнения любых двух из следующих тождеств:

$x(xy)=(xx)y$

$(yx)x=y(xx)$

$(xy)x=x(yx)$

откуда сразу следует третье из тождеств.

Литература

• Шаблон:Книга:Общая алгебра
• Шаблон:Книга

См. также

• Алгебра Ли
• Алгебра Мальцева