Алгебра Мальцева

Алгебра Мальцева — антикоммутативная неассоциативная алгебра, которая удовлетворяет следующему тождеству Мальцева:

(x y) (x z) = ((x y) z) x + ((y z) x) x + ((z x) x) y

.

Введены в 1955 году советским математиком Анатолием Ивановичем Мальцевым.

Тождество Мальцева можно переписать в виде:

J (x, y, x z) = J (x, y, z) x

,

где $J (x, y, z) = (x y) z + (y z) x + (z x) y$ — якобиан элементов $x, y, z$ . Поскольку в любой алгебре Ли якобиан равняется нулю, то алгебры Ли являются частным случаем алгебр Мальцева.

Существует следующая взаимосвязь между альтернативными алгебрами и алгеброй Мальцева: замена умножения в алгебре $M$ операцией коммутирования $[x, y] = x y - y x$ превращает её в алгебру $M^{(-)}$ . При этом, если $M$ является альтернативной алгеброй, то $M^{(-)}$ будет алгеброй Мальцева. (Другими словами, для алгебр Мальцева существует аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта.)

Для алгебр Мальцева имеет место теорема, аналогичная классической теореме о связи алгебры Ли и группы Ли. Касательная алгебра локальной аналитической лупы Муфанг является алгеброй Мальцева. Верно также и обратное утверждение: любая конечномерная алгебра Мальцева $M$ над полным нормированным полем $F$ характеристики 0 является касательной алгеброй некоторой локальной аналитической лупы Муфанг.

Литература

Алгебра Мальцева

Литература

Навигация

Поиск