Антикоммутативность

Шаблон:Не путать Антикоммутативность — свойство мультипликативной бинарной операции в кольце: $x^2=x\cdot x=0$.

Из определения вытекает тождество $x\cdot y+y\cdot x=0$, так как выражение $(x+y)\cdot (x+y)$ равно:

$\begin{array}{cc}0& =x\cdot (x+y)+y\cdot (x+y)=\\ & =x\cdot x+x\cdot y+y\cdot x+y\cdot y=\\ & =x\cdot y+y\cdot x\\ \end{array}$

Если $2=1+1$ в кольце не является делителем нуля, тогда тождество $x\cdot x=0$ само следует из $x\cdot y+y\cdot x=0$ и они оказываются равносильны; но в общем случае это не так (например, в алгебрах над полем характеристики 2 первое тождество сильнее второго).

Понятие возникло в связи с алгебрами Ли, в которых умножение удовлетворяет тождеству $x\cdot y=-y\cdot x$ (как и $x^2=0$). Классический пример антикоммутативной операции — векторное произведение, для которого $x\times y=-y\times x$ (в отличие от коммутативного скалярного произведения).

Некоторые антикоммутативные алгебры: алгебры Мальцева, алгебра внешних форм, алгебра дифференцирований дифференциальных форм, алгебра тангенциальнозначных форм.

Шаблон:ЯкорьУмножение в градуированной алгебре $\mathrm{\Omega }={\oplus }_i{\mathrm{\Omega }}^i$ называется градуированно антикоммутативным, если для любых элементов ${\omega }_m\in {\mathrm{\Omega }}^m$, ${\omega }_k\in {\mathrm{\Omega }}^k$ выполнено:

${\omega }_m\cdot {\omega }_k+(-1{)}^{mk+1}{\omega }_k\cdot {\omega }_m=0$.

Литература

• Шаблон:Книга:Общая алгебра