Инвариант (математика)

Шаблон:Другие значения Инвариа́нт — свойство некоторого класса (множества) математических объектов, остающееся неизменным при определённого типа преобразованиях.

Определение

Пусть $A$ — множество и $G$ — множество отображений из $A$ в $B$. Отображение $f$ из множества $A$ в множество $B$ называется инвариантом для $G$, если для любых $a\in A$ и $g\in G$ выполняется тождество $f(a)=f(g(a))$.

Инварианты используются в различных областях математики, таких как геометрия, топология и алгебра. Открытие инвариантов является важным шагом в процессе классификации математических объектов.

Примеры

• Площадь треугольника является инвариантом по отношению к изометриям евклидова пространства.
• Мощность множества является инвариантом относительно биекций.
• Определитель, след, собственные вектора и собственные значения матрицы инвариантны относительно выбора базиса.
• В теории дифференциальных уравнений инвариантом называется функция, зависящая от искомой функции, значение которой постоянно (первый интеграл).
• Мера Лебега инвариантна относительно сдвигов.
• Сингулярные числа матрицы инвариантны относительно ортогональных преобразований.
• Теория инвариантов занимается поиском инвариантных многочленов (или просто «инвариантов») и изучением образованной ими алгебры для случая линейных представлений алгебраических групп, а также действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях.
• Топологический инвариант — см. Словарь терминов общей топологии.
• Задачи на инвариант представляют собой большой класс задач в олимпиадной математике.
• Число Хадвигера и хроматическое число являются инвариантами графа при перенумерации его вершин.
• Инвариант эллиптической кривой — число $J(E)=1728\frac{4a^3}{4a^3+27b^2}(\mathrm{mod}p)$. См. ГОСТ 34.10-2018.

Литература

• Шаблон:Книга