Поверхность второго порядка

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

$A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0$

в котором по крайней мере один из коэффициентов $A$, $B$, $C$,$D$ $E$, $F$, отличен от нуля. Является частным случаем квадрики.

Поверхности второго порядка, получающиеся при различных значениях параметров уравнения

Типы поверхностей второго порядка

Цилиндрические поверхности

Поверхность $S$ называется цилиндрической поверхностью с образующей $\overrightarrow{l}$, если для любой точки $M_0$ этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей $\overrightarrow{l}$, целиком принадлежит поверхности $S$.

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность $S$ имеет уравнение $f(x,y)=0$, то $S$ — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси $OZ$.

Кривая, задаваемая уравнением $f(x,y)=0$ в плоскости $z=0$, называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$y^2=2px$	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
Файл:Cil.png		Файл:Hip el.png
Пара совпавших прямых:	Пара совпавших плоскостей:	Пара пересекающихся плоскостей:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$	$y^2=0$	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$

Конические поверхности

Файл:Con.png

Коническая поверхность.

Шаблон:Main Поверхность $S$ называется конической поверхностью с вершиной в точке $O$, если для любой точки $M_0$ этой поверхности прямая, проходящая через $M_0$ и $O$, целиком принадлежит этой поверхности.

Функция $F(x,y,z)$ называется однородной порядка $m$, если $\mathrm{\forall }t\in ℝ\mathrm{\forall }x,y,z$ выполняется следующее: $F(tx,ty,tz)=t^{m}F(x,y,z)$

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность $S$ задана уравнением $F(x,y,z)=0$, где $F(x,y,z)$ — однородная функция, то $S$ — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность $S$ задана функцией $F(x,y,z)$, являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то $S$ называется конической поверхностью второго порядка.

• Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$

Поверхности вращения

Поверхность $S$ называется поверхностью вращения вокруг оси $OZ$, если для любой точки $M_0(x_0,y_0,z_0)$ этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости $z=z_0$ с центром в $(0,0,z_0)$ и радиусом $r=\sqrt{x_0^2+y_0^2}$, целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность $S$ задана уравнением $F(x^2+y^2,z)=0$, то $S$ — поверхность вращения вокруг оси $OZ$.

Эллипсоид:	Однополостной гиперболоид:	Двуполостной гиперболоид:	Эллиптический параболоид:	Гиперболический параболоид:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z$	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z$
	Файл:Hib com.png	Файл:Hib sim.png	Файл:El Par.png	Файл:Hip Par.png

В случае, если $a=b\ne 0$, перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Эллиптический параболоид

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z.$

Если $a=b$, то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы, параметр которой $p=a^2=b^2$, вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью $z=z_0>0$ является эллипсом.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью $x=x_0$ или $y=y_0$ является параболой.

Гиперболический параболоид

Уравнение гиперболического параболоида имеет вид

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z.$

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью $z=z_0$ является гиперболой.

Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью $x=x_0$ или $y=y_0$ является параболой.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Центральные поверхности

Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты $(x_0,y_0{z}_0)$ можно найти, решив систему уравнений:

$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_0+a_{12}{y}_0+a_{13}{z}_0+a_{14}=0\\ a_{21}{x}_0+a_{22}{y}_0+a_{23}{z}_0+a_{24}=0\\ a_{31}{x}_0+a_{32}{y}_0+a_{33}{z}_0+a_{34}=0\end{array}$

Матричный вид уравнения поверхности второго порядка

Уравнение поверхности второго порядка может быть переписано в матричном виде:

$\left(\begin{array}{cccc}x& y& z& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)=0$

Также можно выделить квадратичную и линейную части друг от друга:

$\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{ccc}{a}_{14}& a_{24}& a_{34}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)+a_{44}=0$

Если обозначить $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)b=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{14}& a_{24}& a_{34}\end{array}\right)X={\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right)}^T$ , то уравнение приобретает следующий вид:

$X^{T}AX+2bX+a_{44}=0$

Инварианты

Значения следующих величин сохраняются при ортогональных преобразованиях базиса:

• Связанных с матрицей $A$:
  • $I_1=\mathrm{t}\mathrm{r}A$
  • $I_2={M_A}_{1,2}^{1,2}+{M_A}_{1,3}^{1,3}+{M_A}_{2,3}^{2,3}$, где ${M_A}_{i,j}^{i,j}$ — минор второго порядка матрицы A, расположенный в строках и столбцах с индексами i и j.
  • $I_3=\det A$

• Связанных с блочной (расширенной) матрицей $B=\left(\begin{array}{cc}A& b\\ b^T& a_{44}\end{array}\right)$
  • $K_1=\sum _{i=1}^3\sum _{j=i+1}^4{M_B}_{i,j}^{i,j}$
  • $K_2=\sum _{i=1}^2\sum _{j=i+1}^3\sum _{k=j+1}^4{M_B}_{i,j,k}^{i,j,k}$
  • $K_4=\det B$

Такие инварианты также иногда называют полуинвариантами или семи-инвариантами.

При параллельном переносе системы координат величины $I_1,I_2,I_3,K_4$ остаются неизменными. При этом:

• $K_2$ остается неизменной только если $I_2=I_3=K_4=0$
• $K_1$ остается неизменной только если $I_2=I_3=K_4=K_2=0$

Классификация поверхностей второго порядка относительно значений инвариантов

Для любой алгебраической поверхности второго порядка существует такая декартова система координат, в которой уравнение этой поверхности принимает один из следующих семнадцати канонических видов:

Поверхность	Уравнение	Инварианты
Эллипсоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	$I_3\ne 0$	$I_2>0,I_1{I}_3>0$	$K_4<0$
Мнимый эллипсоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=-1$			$K_4>0$
Точка	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+z^2=0$			$K_4=0$
Однополостный гиперболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$		$I_2\le 0$ или $I_1{I}_3\le 0$	$K_4>0$
Двуполостный гиперболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$			$K_4<0$
Конус	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-2z^2=0$			$K_4=0$
Эллиптический параболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-2z=0$	$I_3=0$	$K_4\ne 0$	$K_4<0$
Гиперболический параболоид	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-2z=0$			$K_4>0$
Эллиптический цилиндр	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$		$K_4=0$	$I_2>0$	$I_1{K}_2<0$
Мнимый эллиптический цилиндр	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1$				$I_1{K}_2>0$
Прямая (пара мнимых пересекающихся плоскостей)	$\frac{x^2}{a^2}+y^2=0$				$K_2=0$
Гиперболический цилиндр	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$			$I_2<0$	$K_2\ne 0$
Пара пересекающихся плоскостей	$\frac{x^2}{a^2}-y^2=0$				$K_2=0$
Параболический цилиндр	$y^2=2px$			$I_2=0$	$K_2\ne 0$
Пара параллельных плоскостей	$x^2-d^2=0$				$K_2=0$	$K_1<0$
Пара мнимых параллельных плоскостей	$x^2+d^2=0$					$K_1>0$
Плоскость	$x^2=0$					$K_1=0$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 5, § 46-54. М., 1883.

См. также

• Квадрика
• Поверхность вращения
• Сфера
• Цилиндрическая поверхность
• Гиперболоид
• Параболоид
• Эллипсоид
• Поверхность Дарбу