Египетские дроби

Египетская дробь — в математике сумма нескольких попарно различных дробей вида $\frac{1}{n}$ (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{16}$.

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби (вообще говоря, бесконечным числом способов). Сумма такого типа использовалась математиками для записи произвольных дробей, начиная со времён Древнего Египта до Средневековья. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

История

Древний Египет

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в Древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф <hiero>D21</hiero> (ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в иератических текстах использовали линию. К примеру:

<hiero>D21:Z1*Z1*Z1</hiero>

$=\frac{1}{3}$

<hiero>D21:V20</hiero>

$=\frac{1}{10}$

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

<hiero>Aa13</hiero>

$=\frac{1}{2}$

<hiero>D22</hiero>

$=\frac{2}{3}$

<hiero>D23</hiero>

$=\frac{3}{4}$

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2^k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (Шаблон:Число), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

Например, так:<hiero>D21:V1*V1*V1-V20*V20:V20*Z1</hiero>

$=\frac{1}{331}$

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Античность и Средневековье

Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci».

Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Алгоритм Фибоначчи

Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом.

1. Дробь $\frac{m}{n}$ разлагается на два слагаемых:

$\frac{m}{n}=\frac{1}{\lceil n/m\rceil }+\frac{(-n)modm}{n\lceil n/m\rceil }.$

Здесь $\lceil n/m\rceil$ — частное от деления n на m, округлённое до целого в бо́льшую сторону, а $(-n)modm$ — (положительный) остаток от деления −n на m.

2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.

Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение. Пример:

$\frac{7}{15}=\frac{1}{3}+\frac{2}{15}=\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{120}.$

Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения:

$\frac{5}{121}=\frac{1}{25}+\frac{1}{757}+\frac{1}{763309}+\frac{1}{873960180913}+\frac{1}{1527612795642093418846225},$

в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению

$\frac{5}{121}=\frac{1}{33}+\frac{1}{121}+\frac{1}{363}.$

Современная теория чисел

Современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с египетскими дробями.

• В конце XX века были даны оценки максимального знаменателя и длины разложения произвольной дроби в египетские. Дробь x/y имеет разложение в египетские дроби с максимальным знаменателем не более

$O\left(\frac{y{\log }^{2}y}{\log \log y}\right)$

Шаблон:Harv и с числом слагаемых не более

$O\left(\sqrt{\log y}\right)$

Шаблон:Harv.

• Гипотеза Эрдёша — Грэма утверждает, что для всякой раскраски целых чисел больших 1 в r > 0 цветов существует конечное одноцветное подмножество S целых, для которого

  $\sum _{n\in S}\frac{1}{n}=1.$

Эта гипотеза доказана Шаблон:Iw в 2003 году.

Открытые проблемы

Египетские дроби ставят ряд трудных и по сей день нерешённых математических проблем.

Гипотеза Эрдёша — Штрауса утверждает, что для всякого целого числа n ≥ 2, существуют положительные целые x, y и z, при которых

$\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.$

Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ≤ 10¹⁴, но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N, при котором для всех n ≥ N существует разложение

$\frac{k}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.$

Эта гипотеза принадлежит Анджею ШинцелюШаблон:Нет АИ.

Литература

• Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
• Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
• Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
• Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
• Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181—191.
• Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269—282.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья Шаблон:Wayback
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Cite web