Египетский математический кожаный свиток

Шаблон:Издание

Египетский математический кожаный свиток — древнеегипетский кожаный свиток размером 25×43 см, приобретённый Шаблон:Не переведено в 1858 году. В 1864 году вместе с папирусом Ахмеса он попал в Британский музей, но до 1927 года не подвергался химическому воздействию и не разворачивался.

Текст написан справа налево иератикой периода Среднего царства и датируется XVII веком до н. э.^[1].

Содержание

Кожаный свиток составлен для вычисления египетских дробей и содержит 26 сумм аликвотных дробей (то есть дробей с числителем 1), которые равны другой аликвотной дроби. Суммы перечислены в двух столбцах, в следующих двух столбцах содержатся точно такие же суммы^[2].

Из 26 перечисленных сумм 10 — это числа Ока Гора: $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ (дважды), $\frac{1}{8}$ (трижды), $\frac{1}{16}$ (дважды), $\frac{1}{32}$ , $\frac{1}{64}$ , преобразованные из египетских дробей. Есть ещё семь сумм, в которых чётные знаменатели пересчитаны из египетских дробей: $\frac{1}{6}$ (указано дважды, но единожды неверно), $\frac{1}{10}$ , $\frac{1}{12}$ , $\frac{1}{14}$ , $\frac{1}{20}$ и $\frac{1}{30}$ . Например, три преобразования $\frac{1}{8}$ следовали за одним или двумя масштабными множителями, как альтернативой:

$\frac{1}{8} \times \frac{3}{3} = \frac{3}{24} = \frac{2 + 1}{24} = \frac{1}{12} + \frac{1}{24}$
$\frac{1}{8} \times \frac{5}{5} = \frac{5}{40} = \frac{4 + 1}{40} = \frac{1}{10} + \frac{1}{40}$
$\frac{1}{8} \times \frac{25}{25} = \frac{25}{200} = \frac{8 + 17}{200} = \frac{1}{25} + (\frac{17}{200} \times \frac{6}{6}) = \frac{1}{25} + \frac{102}{1200} = \frac{1}{25} + \frac{80 + 16 + 6}{1200} = \frac{1}{25} + \frac{1}{15} + \frac{1}{75} + \frac{1}{200}$

Наконец, 9 сумм с нечётными знаменателями переведены из египетских дробей: $\frac{2}{3}$ , $\frac{1}{3}$ (дважды), $\frac{1}{5}$ , $\frac{1}{7}$ , $\frac{1}{9}$ , $\frac{1}{11}$ , $\frac{1}{13}$ и $\frac{1}{15}$ .

Эксперты Британского музея не нашли ни введения, ни описания того, как и почему были рассчитаны серии эквивалентных долей^[3]. Эквивалентные дроби связаны с $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{16}$ . Произошла ошибка, связанная с последней $\frac{1}{15}$ серией дробей. Серия $\frac{1}{15}$ названа равной $\frac{1}{6}$ . Другая серьёзная ошибка связана с $\frac{1}{13}$ , которую эксперты 1927 года не попытались решить.

Современный анализ

Оригинальные математические тексты никогда не объясняют, откуда берутся вычисления и формулы. То же касается и кожаного свитка. Учёные предположили, что методы древних египтян, возможно, использовались для построения таблицы дробей в свитке, Папирусе Ахмеса и Шаблон:Не переведено. Оба типа таблиц использовались, чтобы помочь при вычислениях дробей и составления единиц измерения^[2].

В кожаном свитке имеются группы схожих дробей. Например, строки 5 и 6 легко объединяются в уравнение $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ . Легко вывести строки 11, 13, 24, 20, 21, 19, 23, 22, 25 и 26, разделив это уравнение на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 и 32 соответственно^[4].

Некоторые проблемы поддаются решению с помощью алгоритма, который включает умножение числителя и знаменателя на один и тот же член, а затем дальнейшее деление полученного уравнения:

\frac{1}{p q} = \frac{1}{N} \times \frac{N}{p q}

Этот метод приводит к решению дроби $\frac{1}{8}$ из свитка, где N = 25 (с использованием современных математических обозначений)^[5]:

\frac{1}{8} = \frac{1}{25} \times \frac{25}{8} = \frac{1}{5} \times \frac{25}{40} = \frac{1}{5} \times (\frac{3}{5} + \frac{1}{40}) = \frac{1}{5} \times (\frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{1}{40}) = \frac{1}{5} \times (\frac{1}{5} + \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{40}) = \frac{1}{25} + \frac{1}{15} + \frac{1}{75} + \frac{1}{200}

С момента прочтения свитка в 1927 году он расценивается как обучающее пособие писцам. Писец тренировался в преобразовании рациональных чисел 1/p и 1/pq в равные дроби.

Хронология

Следующая хронология показывает несколько этапов, которые ознаменовали недавний прогресс в познании расчётов свитка, связанного с таблицей 2/n Математического папируса Ринда.

1895 — Гульч предположил, что все серии 2/p папируса закодированы кратными частями^[6].
1927 — Шаблон:Нп5 пришёл к выводу, что арифметика кожаного свитка сводилась к сложению^[7].
1929 — по мнению Шаблон:Нп5, кожаный свиток важнее папируса Ринда, несмотря на то, что содержит лишь 25 рядов дробей^[8].
1950 — Шаблон:Нп5 независимо подтверждает выводы Гульча^[9].
1972 — Джиллингс нашёл решение наиболее простой проблемы папируса Ринда — серия 2/pq^[10].
1982 — Шаблон:Нп5 идентифицирует дроби папируса Ринда 2/35, 2/91 и 2/95 как исключения из 2/pq^[11].
2002 — Гарднер выделяет пять отдельных структур свитка^[5].

См. также

Египетские математические тексты:

Другое:

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

EMLR Egyptian Mathematical Leather
Теоретические (ожидаемые) контрольные числа
RMP 35 - 38 плюс RMP 66

Шаблон:ВС Шаблон:Язык и письмо Древнего Египта

[1] Шаблон:Книга

[:0-2] 2,0 ^2,1 Шаблон:Книга

[3] Шаблон:Статья

[4] Шаблон:Книга

[:1-5] 5,0 ^5,1 Шаблон:Книга

[6] Шаблон:Книга

[7] Шаблон:Статья

[8] Шаблон:Статья

[9] Шаблон:Статья

[10] Шаблон:Книга

[11] Шаблон:Статья

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3	Столбец 4
$\frac{1}{10} + \frac{1}{40} = \frac{1}{8}$	$\frac{1}{30} + \frac{1}{45} + \frac{1}{90} = \frac{1}{15}$	$\frac{1}{10} + \frac{1}{40} = \frac{1}{8}$	$\frac{1}{18} + \frac{1}{36} = \frac{1}{12}$
$\frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}$	$\frac{1}{24} + \frac{1}{48} = \frac{1}{16}$	$\frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{1}{4}$	$\frac{1}{21} + \frac{1}{42} = \frac{1}{14}$
$\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$	$\frac{1}{18} + \frac{1}{36} = \frac{1}{12}$	$\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$	$\frac{1}{45} + \frac{1}{90} = \frac{1}{30}$
$\frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{1}{5}$	$\frac{1}{21} + \frac{1}{42} = \frac{1}{14}$	$\frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{1}{5}$	$\frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{1}{20}$
$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$	$\frac{1}{45} + \frac{1}{90} = \frac{1}{30}$	$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$	$\frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$	$\frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{1}{20}$	$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$	$\frac{1}{48} + \frac{1}{96} = \frac{1}{32}$
$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$	$\frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10}$	$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$	$\frac{1}{96} + \frac{1}{192} = \frac{1}{64}$
$\frac{1}{25} + \frac{1}{15} + \frac{1}{75} + \frac{1}{200} = \frac{1}{8}$	$\frac{1}{48} + \frac{1}{96} = \frac{1}{32}$	$\frac{1}{25} + \frac{1}{15} + \frac{1}{75} + \frac{1}{200} = \frac{1}{8}$
$\frac{1}{50} + \frac{1}{30} + \frac{1}{150} + \frac{1}{400} = \frac{1}{16}$	$\frac{1}{96} + \frac{1}{192} = \frac{1}{64}$	$\frac{1}{50} + \frac{1}{30} + \frac{1}{150} + \frac{1}{400} = \frac{1}{16}$
$\frac{1}{25} + \frac{1}{50} + \frac{1}{150} = \frac{1}{15}$	$\frac{1}{25} + \frac{1}{50} + \frac{1}{150} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{1}{6}$	$\frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{7} + \frac{1}{14} + \frac{1}{28} = \frac{1}{4}$	$\frac{1}{7} + \frac{1}{14} + \frac{1}{28} = \frac{1}{4}$
$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8}$	$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8}$
$\frac{1}{14} + \frac{1}{21} + \frac{1}{42} = \frac{1}{7}$	$\frac{1}{14} + \frac{1}{21} + \frac{1}{42} = \frac{1}{7}$
$\frac{1}{18} + \frac{1}{27} + \frac{1}{54} = \frac{1}{9}$	$\frac{1}{18} + \frac{1}{27} + \frac{1}{54} = \frac{1}{9}$
$\frac{1}{22} + \frac{1}{33} + \frac{1}{66} = \frac{1}{11}$	$\frac{1}{22} + \frac{1}{33} + \frac{1}{66} = \frac{1}{11}$
$\frac{1}{28} + \frac{1}{49} + \frac{1}{196} = \frac{1}{13}$	$\frac{1}{28} + \frac{1}{49} + \frac{1}{196} = \frac{1}{13}$
$\frac{1}{30} + \frac{1}{45} + \frac{1}{90} = \frac{1}{15}$
$\frac{1}{24} + \frac{1}{48} = \frac{1}{16}$