Ряд Лорана

Ряд Лорана комплексной функции — представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями. Назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Определение

Ряд Лорана в конечной точке $z_0\in ℂ$ — функциональный ряд по целым степеням $(z-z_0)$ над полем комплексных чисел:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n(z-z_0{)}^n,$ где переменная $z\in ℂ\setminus \{z_0\}$, а коэффициенты $c_n\in ℂ$ для $n\in \mathbb{Z}$.

Этот ряд является суммой двух степенных рядов:

1. $\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n(z-z_0{)}^n$ — часть по неотрицательным степеням $(z-z_0)$,
2. $\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{-1}{c}_n(z-z_0{)}^n$ — часть по отрицательным степеням $(z-z_0)$.

Ряд Лорана сходится тогда и только тогда, когда сходятся обе (как по отрицательным, так и по положительным степеням) его части.

Если $A_{z_0}\subseteq (ℂ\setminus \{z_0\})$ — область сходимости ряда Лорана такая, что $z_0\in \partial A_{z_0}$, то для $A_{z_0}$

ряд $\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n(z-z_0{)}^n$ называется правильной частью,

ряд $\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{-1}{c}_n(z-z_0{)}^n$ называется главной частью.

Ряд Лорана в бесконечно удалённой точке $z_0=\mathrm{\infty }\in \overline{ℂ}$ — функциональный ряд по целым степеням $z$ над полем комплексных чисел:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n,$ где переменная $z\in ℂ\setminus \{0\}$, а коэффициенты $c_n\in ℂ$ для $n\in \mathbb{Z}$.

По внешнему виду ряд для $z_0=\mathrm{\infty }$ совпадает с рядом для $z_0=0$, однако, с формальной точки зрения получен с помощью замены $z\leftrightarrow \frac{1}{\zeta }$ для ${\zeta }_0=0$.

Если $A_{\mathrm{\infty }}\subseteq (ℂ\setminus \{0\})$ — область сходимости ряда Лорана такая, что $\mathrm{\infty }\in \partial A_{\mathrm{\infty }}$, то для $A_{\mathrm{\infty }}$

ряд $\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^0{c}_n{z}^n$ называется правильной частью,

ряд $\sum _{n=+1}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$ называется главной частью.

Свойства

• Часть по положительным степеням $(z-z_0)$ сходится во внутренности $D_R=\{z\in ℂ:|z-z_0|<R\}$ круга радиуса $R=\frac{1}{\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}|c_n{|}^{1/n}}\in [0;+\mathrm{\infty }]$,

часть по отрицательным степеням $(z-z_0)$ сходится во внешности ${\mathrm{\Delta }}_r=\overline{ℂ}\setminus {\bar{D}}_r=\{z\in \overline{ℂ}:|z-z_0|>r\}$ круга $D_r$ радиуса $r=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}|c_{-n}{|}^{1/n}\in [0;+\mathrm{\infty }]$.

Поэтому, если $r<R$, то внутренность $A$ области сходимости ряда Лорана непуста и представляет собой круговое кольцо

$A=\{z\in ℂ\mid 0\le r<|z-z_0|<R\le +\mathrm{\infty }\}={\mathrm{\Delta }}_r\cap D_R$.

• Поведение ряда Лорана в точках граничной окружности $C_R(z_0)=\{z\in ℂ:|z-z_0|=R\}$ зависит только от $\sum _{n=n_s}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n(z-z_0{)}^n$ для произвольного $n_s\in \mathbb{N}$,

а в точках граничной окружности $C_r(z_0)=\{z\in ℂ:|z-z_0|=r\}$ — только от $\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{-n_s}{c}_n(z-z_0{)}^n$ для произвольного $n_s\in \mathbb{N}$.

Таким образом, как и для степенных рядов поведение ряда Лорана в граничной точках кольца $A$ может быть разнообразным.

• Во всех точках кольца $A$ ряд Лорана сходится абсолютно.
• На любом компактном подмножестве $K\subset A$ ряд сходится равномерно.
• Для каждой точки ${\zeta }_0\in A$ существует такое значение $\rho ({\zeta }_0)=\min \{\text{dist}(C_r(z_0),{\zeta }_0),\text{dist}(C_R(z_0),{\zeta }_0)\}>0$, что $D_{\rho }({\zeta }_0)=\{z\in ℂ:|z-{\zeta }_0|<\rho ({\zeta }_0)\}\subset A$, и ряд Лорана $f(z)$ может быть записан в виде сходящегося в $D_{\rho }({\zeta }_0)$ ряда по степеням $(z-{\zeta }_0)$:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n(z-z_0{)}^n=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{t}_k({\zeta }_0)(z-{\zeta }_0{)}^k,$ где $z\in D_{\rho }({\zeta }_0)$, а $t_k({\zeta }_0)=\frac{f^{(k)}({\zeta }_0)}{k!}$ для $k\in \{0\}\cup \mathbb{N}$,

т.е. ${\zeta }_0$ является для $f(z)$ правильной точкой. Таким образом, сумма ряда Лорана в $A$ есть аналитическая функция $f(z)$.

• Для $0<r<R<+\mathrm{\infty }$ на граничных окружностях кольца сходимости $A$ существуют непустые множества $I_r\subseteq C_r(z_0)$, $I_R\subseteq C_R(z_0)$ точек, не являющихся для $f(z)$ правильными.
• Ряд Лорана можно дифференцировать на любом компактном $K\subset A$ почленно.
• Интегрирование ряда Лорана даёт однозначную в $A$ функцию только при $c_{-1}=0$, поскольку для любого $\rho >0$ значение $\underset{|z-z_0|=\rho }{\int }{c}_n(z-z_0{)}^n\cdot dz=\{\begin{array}{cc}{c}_{-1}\cdot 2\pi i,& n=-1;\\ 0,& n\ne -1.\end{array}$

Ряд $\sum _{n=-\mathrm{\infty },n\ne -1}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n(z-z_0{)}^n$, представляющий в двусвязной области $A$ функцию $f(z)-\frac{c_{-1}}{z-z_0}$, для любого компактного $K\subset A$ и любой спрямляемой ориентированной кривой $\gamma \subset K$ можно интегрировать по $\gamma$ почленно, при этом результат интегрирования зависит только от начальной и конечной точек $\gamma$ и не зависит от формы кривой $\gamma$.

• Коэффициенты $(c_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ ряда Лорана $f(z)$ удовлетворяют соотношениям

$c_n=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(z)dz}{(z-z_0{)}^{n+1}}=\frac{1}{2\pi i}\underset{|z-z_0|=\rho }{\int }\frac{f(z)dz}{(z-z_0{)}^{n+1}}$,

где $\gamma$ — любая спрямляемая кривая, лежащая в компактном $K\subset A$ и один раз обходящая против часовой стрелки точку $z_0$. В частности, в качестве $\gamma$ можно взять любую окружность $C_{\rho }=\{z_0+\rho e^{it}\mid t\in [0;2\pi ]\}$ радиуса $\rho \in (r;R)$ с центром в $z_0$, расположенную внутри кольца сходимости и ориентированную положительно (параметр $t$ должен возрастать).

• Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если для двух рядов Лорана по степеням $(z-z_0)$, сходящихся в $A_1$ и $A_2$ соответственно, совпадают их суммы на некоторой окружности $C_{\rho }=\{z\in ℂ:|z-z_0|=\rho \}\subset (A_1\cap A_2)$ или на гомотопной ей по $A_1\cap A_2$ спрямляемой кривой $\gamma \sim C_{\rho }$, то совпадают все коэффициенты этих рядов.

Теорема Лорана

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая функция $f(z)$, являющаяся однозначной и аналитической в кольце $A=\{z\in ℂ\mid 0\le r<|z-z_0|<R\le +\mathrm{\infty }\}$, представима в $A$ сходящимся рядом Лорана по степеням $(z-z_0)$.

Представление однозначной аналитической функции $f(z)$ в виде ряда Лорана служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности $A_{z_0}$ изолированной особой точки:

1) если точка $z_0\ne \mathrm{\infty }$, то существует радиус $R_{z_0}\in (0;+\mathrm{\infty }]$ такой, что в проколотой окрестности

$A_{z_0}=\{z\in ℂ\mid 0<|z-z_0|<R_{z_0}\}$

функция $f(z)$ представима (сходящимся) рядом Лорана;

2) если точка $z_0=\mathrm{\infty }$, то существует радиус $r_{\mathrm{\infty }}\in [0;+\mathrm{\infty })$ такой, что в проколотой окрестности

$A_{\mathrm{\infty }}=\{z\in ℂ\mid r_{\mathrm{\infty }}<|z|<\mathrm{\infty }\}$

функция $f(z)$ представима (сходящимся) рядом Лорана.

Тип изолированной особой точки $z_0$ определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности $A_{z_0}$:

• Устранимая особая точка — главная часть ряда Лорана равна 0.
• Полюс — главная часть содержит конечное число ненулевых членов.
• Существенно особая точка — главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга