Полюс (комплексный анализ)

Модуль Гамма-функции $\mathrm{\Gamma }(z)$. Слева (Re z<0) у функции есть полюса, в них она стремится к бесконечности. Справа (Re z>0) полюсов нет, функция всюду конечна.

Изолированная особая точка $z_0$ называется полюсом функции $f(z)$, голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, если существует предел

$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=\mathrm{\infty }$.

Критерии полюса

• Точка $z_0$ является полюсом тогда, и только тогда, когда в разложении функции $f(z)$ в ряд Лорана в проколотой окрестности точки $z_0$ главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, то есть

$f(z)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z-z_0{)}^k=P(z)+f_{-n}(z-z_0{)}^{-n}+\dots +f_{-1}(z-z_0{)}^{-1}$,

где $P(z)$ — правильная часть ряда Лорана.

Если $f_{-n}\ne 0$, то $z_0$ называется полюсом порядка $n$.

Если $n=1$, то полюс называется простым.

• Точка $z_0$ является полюсом порядка $k$ тогда и только тогда, когда $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)(z-z_0{)}^{k-1}=\mathrm{\infty }$, а $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)(z-z_0{)}^k\ne \mathrm{\infty }$
• Точка $z_0$ является полюсом порядка $k$ тогда и только тогда, когда она является для функции $F(z)=\frac{1}{f(z)}$ нулем порядка $k$.

См. также

• Нуль (комплексный анализ)
• Мероморфная функция
• Вычет
• Интегральная формула Коши

• Другие типы изолированных особых точек:
  • Устранимая особая точка
  • Существенно особая точка

Литература

• Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
• Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.