Интегральная формула Коши

Интегральная формула Коши — соотношение для голоморфных функций комплексного переменного, связывающее значение функции в точке с её значениями на контуре, окружающем точку.

Эта формула выражает одну из важнейших особенностей комплексного анализа: значение в любой точке внутри области можно определить, зная значения на её границе.

Формулировка

Пусть $D$ — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей $\mathrm{\Gamma }=\partial D$, функция $f(z)$ голоморфна в $\bar{D}$, и $z_0$ — точка внутри области $D$. Тогда справедлива следующая формула Коши:

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f(z)}{z-z_0}dz.$

Формула справедлива также, если предполагать, что $f(z)$ голоморфна внутри $D$ и непрерывна на замыкании, а также если граница $D$ не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.

Доказательство

Рассмотрим окружность $S_{\rho }$ достаточно малого радиуса $\rho$ с центром в точке $z_0$.

В области, ограниченной контурами $\mathrm{\Gamma }$ и $S_{\rho }$ (то есть состоящей из точек области $D$ за исключением точек внутри $S_{\rho }$), подынтегральная функция не имеет особенностей, и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что независимо от $\rho$ имеем равенство

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f(z)}{z-z_0}dz=\underset{S_{\rho }}{\int }\frac{f(z)}{z-z_0}dz.$

Для расчёта интегралов по $S_{\rho }$ применим параметризацию $z=z_0+\rho e^{i\phi },\phi \in [0;2\pi ]$.

Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая $f(z)=1$:

$\frac{1}{2\pi i}\underset{S_{\rho }}{\int }\frac{1}{z-z_0}dz=\frac{1}{2\pi i}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{1}{\rho e^{i\phi }}i\rho e^{i\phi }d\phi =1.$

Воспользуемся ею для доказательства общего случая:

$\frac{1}{2\pi i}\underset{S_{\rho }}{\int }\frac{f(z)}{z-z_0}dz-f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{S_{\rho }}{\int }\frac{f(z)}{z-z_0}dz-\frac{1}{2\pi i}\underset{S_{\rho }}{\int }\frac{f(z_0)}{z-z_0}dz=\frac{1}{2\pi i}\underset{S_{\rho }}{\int }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz.$

Так как функция $f(z)$ комплексно дифференцируема в точке $z_0$, то

$\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=f^{\prime }(z_0)+o(1).$

Интеграл от $f^{\prime }(z_0)$ равен нулю:

$\frac{1}{2\pi i}\underset{S_{\rho }}{\int }{f}^{\prime }(z_0)dz=\frac{1}{2\pi i}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{f}^{\prime }(z_0)i\rho e^{i\phi }d\phi =0.$

Интеграл от члена $o(1)$ может быть сделан сколь угодно малым при $\rho \to 0$. Но поскольку он от $\rho$ вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f(z)}{z-z_0}dz-f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{S_{\rho }}{\int }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz=0.$

Следствия

Формула Коши имеет массу различных следствий. Это ключевая теорема всего комплексного анализа. Вот некоторые из её следствий:

Аналитичность голоморфных функций

В окрестности любой точки $z_0$ из области, где функция $f(z)$ голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-z_0{)}^n$,

причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке $z_0$, в котором функция $f(z)$ голоморфна, а коэффициенты $c_n$ могут быть вычислены по интегральным формулам:

$c_n=\frac{1}{2\pi i}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz$.

Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов $c_n$ функций, голоморфных в круге $|z-z_0|<r$:

$c_n⩽r^{-n}M(r)$,

где $M(r)$ — максимум модуля функции $f(z)$ на окружности $|z-z_0|=r$, а из них — теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если функция голоморфна во всей комплексной плоскости и ограничена, она есть константа.

Кроме того, сочетая формулы для коэффициентов с теоремой о голоморфности суммы степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости и формулой, выражающей коэффициенты степенного ряда через производные его суммы

$c_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$

получается интегральное представление производных функции $f(z)$:

$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz.$

Оценки производных, аналогичные неравенствам Коши, дают теорему о равностепенной непрерывности семейства голоморфных функций в ограниченной области $D$, если это семейство равномерно ограничено в $D$. В сочетании с теоремой Арцела — Асколи, получается теорема Монтеля о компактном семействе функций: из любого равномерно ограниченного семейства функций, голоморфных в ограниченной области $D$, можно выделить такую последовательность функций, которая будет сходиться в $D$ к некоторой голоморфной функции равномерно.

Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях

Если функция $f(z)$ голоморфна в области $D$ вида $\{r<|z-z_0|<R\}$, то в ней она представима суммой ряда Лорана:

$f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n(z-z_0{)}^n,$

причём коэффициенты $c_n$ могут быть вычислены по интегральным формулам:

$c_n=\frac{1}{2\pi i}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz,$

а сам ряд Лорана сходится в $D$ к функции $f(z)$ равномерно на каждом компакте из $D$.

Формула для коэффициента $c_{-1}$ часто применяется для вычисления интегралов от функции $f(z)$ по различным контурам, используя алгебраические методы и теорию вычетов.

Также в терминах рядов Лорана производится классификация изолированных особых точек голоморфных функций.

Теоремы о среднем для голоморфных функций

Если функция $f(z)$ голоморфна в круге $\{|z-z_0|<R\}$, тогда для каждого $r(0<r<R)$

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(z_0+r{e}^{i\phi })d\phi ,$

а также если $B_r$ — круг радиуса $r$ с центром в $z_0$, тогда

$f(z_0)=\frac{1}{\pi r^2}\underset{B_r}{\int }f(z)dxdy.$

Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция $f(z)$ голоморфна в области $D$ и внутри $D$ её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция есть константа.

Из принципа максимума модуля следует принцип максимума для вещественной и мнимой части голоморфной функции: если функция $f(z)$ голоморфна в области $D$ и внутри $D$ её вещественная или мнимая часть имеет локальный максимум или минимум, тогда эта функция есть константа.

Теоремы о единственности

Из принципа максимума модуля и представимости голоморфных функций степенными рядами следуют ещё 3 важных результата:

• лемма Шварца: если функция $f(z)$ голоморфна в круге $|z|<1$, $f(0)=0$ и для всех точек $z$ из этого круга $|f(z)|⩽1$, тогда всюду в этом круге $|f(z)|⩽|z|$;
• теорема единственности для степенных рядов: голоморфные функции, имеющие одинаковые ряды Тейлора в точке $z_0$, совпадают в некоторой окрестности этой точки;
• теорема о нулях голоморфной функции: если нули функции $f(z)$, голоморфной в области $D$ имеют предельную точку внутри $D$, тогда функция $f(z)$ равна нулю всюду в $D$.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга