Принцип максимума модуля

Шаблон:Значения Принцип максимума модуля выражается следующей теоремой:

Если $f$ голоморфна в некоторой области $G\subset {ℂ}^n$ и существует точка $z_0\in G$ такая, что во всей области $G$ выполняется неравенство $|f(z_0)|⩾|f(z)|$, то $f(z)\equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$.

Другими словами, модуль аналитической функции, отличной от константы, не может иметь локальных максимумов внутри области $G$.

Следствия

• Принцип минимума модуля. Если $f$ аналитична в некоторой области $G\subset {ℂ}^n$, не обращается там в нуль, и существует точка $z_0\in G$ такая, что во всей области $G$ выполняется неравенство $|f(z_0)|⩽|f(z)|$, то $f(z)\equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$. (То есть локальные минимумы модуля аналитической функции, отличной от константы, могут достигаться только в тех точках, где она обращается в ноль.)
• Принцип максимума вещественной и мнимой части. Если для аналитической функции $f(z)$ в точке $z_0\in G$ достигается локальный максимум (минимум) у её вещественной (или мнимой) части, тогда функция $f(z)$ есть константа.

(Здесь используется обычный принцип максимума модуля для функций $e^{f(z)}$ и $e^{if(z)}$, а также равенство $\left|e^{f(z)}\right|=e^{\mathrm{R}\mathrm{e}f(z)}$.)

• Пусть $K\subset {ℂ}^n$ — компактное подмножество. Для всякой функции $f$, непрерывной на $K$ и аналитичной внутри $K$, выполнено равенство:

$\Vert f{\Vert }_K=\Vert f{\Vert }_{\partial K}.$

Если последовательность таких функций равномерно сходится на границе компакта $K$, тогда она сходится равномерно на всём $K$.

• Лемма Шварца

Литература

• Шаблон:Публикация