Лемма Шварца

Лемма Шварца — классический результат комплексного анализа о гармонических отображениях из круга в себя.

Формулировка

Пусть $Δ = {z : | z | < 1}$ — единичный круг на комплексной плоскости $ℂ$ . Далее, пусть функция $f$ аналитична в $Δ$ и удовлетворяет двум условиям:

$f (0) = 0$ ;
$f (Δ) \subset \overline{Δ}$ , или, что равносильно, $| f (z) | ⩽ 1$ .

Тогда:

$| f (z) | ⩽ | z |$ в $Δ$ ;
$| f^{'} (0) | ⩽ 1$ .

Более того, оба эти неравенства превращаются в равенства тогда и только тогда, когда функция имеет вид $f (z) = e^{i φ} z$ , то есть она сводится к повороту. Идея доказательства в том, что функция $f (z) / z$ будет аналитичной при $| z | < 1$ и применения к ней принципа максимума для гармонических функций.

Вариации и обобщения

Лемма Шварца применением к исходному кругу дробно-линейного отображения автоматически ведёт к более общему утверждению — теореме Шварца — Пика.

Литература

Лемма Шварца

Формулировка

Вариации и обобщения

Литература

Навигация

Поиск