Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях

Шаблон:Значения Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если целая функция $f(z)$ комплексных переменных $z=(z_1,\dots ,z_n)$ ограничена, то есть

$|f(z)|⩽M<\mathrm{\infty },$

то $f(z)$ есть константа.

Обобщения

• Если $f(z)$ ― целая функция в ${ℂ}^n$, и для некоторого $r\in ℝ$

$|f(z)|⩽C(1+|z{|}^r),$

то $f(z)$ есть многочлен по переменным $(z_1,\dots ,z_n)$ степени не выше $r$.

• Если $u(x)$ ― вещественная гармоническая функция во всём числовом пространстве ${ℝ}^n$,

$u(x)<C(1+|x{|}^r),$

то $u(x)$ есть гармонический многочлен по переменным.

История

Это предложение, одно из основных в теории аналитических функций, впервые, по-видимому, было опубликовано в 1844 году Коши для случая $n=1$. Лиувилль излагал его на лекциях в 1847 году, откуда и произошло название.

Доказательство (для одномерного случая)

Пусть функция $f(z)$, $z\in ℂ$, ограничена на комплексной плоскости, то есть

$\mathrm{\exists }M\mathrm{\forall }z|f(z)|⩽M.$

Воспользуемся интегральной формулой Коши для производной $f(z)$:

$f^{\prime }(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C_R}{\oint }\frac{f(\xi )}{(\xi -z{)}^2}d\xi ,$

где $C_R$ — окружность радиуса $R$, содержащая точку $z$, или $|\xi -z|=R$.

Имеем

$|f^{\prime }(z)|⩽\frac{1}{2\pi }\frac{M}{R^2}2\pi R=\frac{M}{R}.$

Отсюда, в силу того, что интегральная формула Коши справедлива для любого контура, имеем $\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{M}{R}=0$, а значит $f^{\prime }(z)=0$ и, следовательно, $f(z)$ является константой. Теорема доказана.

Литература

• Шаблон:Книга