Интегральная теорема Коши

Шаблон:Другие значения Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексной переменной.

Теорема

Пусть $D\subset ℂ$ — область, а функция $f(z)$ голоморфна в $D$ и непрерывна в замыкании $\bar{D}$. Тогда для некоторой односвязной области $A\subset ℂ,$ и для любой замкнутой жордановой кривой $\mathrm{\Gamma }\subset A$ справедливо соотношение $\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }f(z)dz=0$

Доказательство

Приведем доказательство, когда область $D$ односвязна, а производная $f$ непрерывна. Из уравнений Коши — Римана следует, что дифференциальная форма $f(z)dz$ замкнута. Пусть теперь $\mathrm{\Gamma }$ — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции $f(z)$, ограничивающий область $D$. Тогда по теореме Стокса имеем:

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz=\underset{\partial D}{\int }f(z)dz=\underset{D}{\int }d[f(z)dz]=0$

Обобщение

Можно доказать и без дополнительных предположений о непрерывности производной. Идея доказательства в том, что достаточно установить существование первообразной у дифференциальной формы $f(z)dz$. Для этого достаточно доказать, что интеграл по любому прямоугольнику с параллельными координатным осям сторонами равен нулю.

Если этот интеграл отличен от нуля и равен числу $a$, то при разрезании прямоугольника на 4 равных прямоугольника (снова с параллельными координатным осям сторонами) модуль интеграла по одному из прямоугольников уменьшится максимум вчетверо. Разрежем и его и будем продолжать этот процесс. Но у вложенной последовательности прямоугольников должна быть общая точка $p$, в достаточно малой окрестности которой $f(z)=f(p)+f^{\prime }(p)(z-p)+o(z-p)$.

Но интеграл по очень близкому прямоугольнику первых двух слагаемых равен нулю, а интеграл последнего слишком мал. Противоречие доказывает теорему.

Прочее

Ограниченным обращением теоремы Коши является теорема Мореры. Обобщением теоремы Коши на случай многомерного комплексного пространства является теорема Коши — Пуанкаре.

См. также

• Теорема Коши — Пуанкаре

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Шаблон:М: Наука. — 1969, 577 стр.