Условия Коши — Римана

Функция f является моногенной, только если df(zX) = z df(X), где z — любое комплексное число.

Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера, — соотношения, связывающие вещественную $u=u(x,y)$ и мнимую $v=v(x,y)$ части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного $w=f(z)=u+iv,z=x+iy$.

Условия Коши — Римана эквивалентны равенству нулю второй производной Виртингера.

Формулировка

В декартовых координатах

Для того чтобы функция $w=f(z)$, определённая в некоторой области $D$ комплексной плоскости, была дифференцируема в точке $z_0=x_0+i{y}_0$ как функция комплексного переменного $z$, необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части $u$ и $v$ были дифференцируемы в точке $(x_0,y_0)$ как функции вещественных переменных $x$ и $y$ и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y};$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$

Компактная запись:

$\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}=0,$ или $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y}.$

Если условия Коши — Римана выполнены, то производная $f^{\prime }(z)$ представима в любой из следующих форм:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(z)& =\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\\ & =\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y}.\\ \end{array}$

Доказательство

1. Необходимость

По условию теоремы существует предел

$f^{\prime }(z_0)=\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f(z_0)}{\mathrm{\Delta }z},$

не зависящий от способа стремления $\mathrm{\Delta }z$ к нулю.

• Вещественное приращение. Положим $\mathrm{\Delta }z=\mathrm{\Delta }x$ и рассмотрим выражение

$\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f(z_0)}{\mathrm{\Delta }z}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{f(z_0+\mathrm{\Delta }x)-f(z_0)}{\mathrm{\Delta }x}.$

Существование комплексного предела $\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f(z_0)}{\mathrm{\Delta }z}$ равносильно существованию одного и того же предела в любом направлении, включая $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\mathrm{\Delta }x)-f(z_0)}{\mathrm{\Delta }x}.$ Поэтому в точке z₀ существует частная производная функции f(z) по x и имеет место формула

$\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f(z_0)}{\mathrm{\Delta }z}=\frac{\partial f(z_0)}{\partial x_0}.$

• Чисто мнимое приращение. Полагая $\mathrm{\Delta }z=i\mathrm{\Delta }y$, находим

$\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f(z_0)}{\mathrm{\Delta }z}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }y\to 0}\frac{f(z_0+i\mathrm{\Delta }y)-f(z_0)}{i\mathrm{\Delta }y}=\frac{1}{i}\frac{\partial f(z_0)}{\partial y_0}.$

Это означает, что если функция дифференцируема, то производные функции по x и по y точно одинаковы, то есть необходимость условий Коши — Римана доказана.

2. Достаточность

Иными словами, нужно доказать в обратную сторону — что если производные функции по x и по y действительно одинаковы, то функция оказывается дифференцируемой вообще в любых направлениях.

Приращение функции

Следуя определению дифференцируемости, приращение функции $f(z)$ в окрестности точки $z_0$ может быть записано в виде

$f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f(z_0)=\frac{\partial f(z_0)}{\partial x_0}\mathrm{\Delta }x+\frac{\partial f(z_0)}{\partial y_0}\mathrm{\Delta }y+\xi (x,y),$

где комплекснозначная функция $\xi (x,y)$ служит «придаточным» слагаемым и стремится к нулю при $(x,y)\to (x_0,y_0)$ быстрее, чем $\mathrm{\Delta }x$ и $\mathrm{\Delta }y,$ то есть

$\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{\lim }\frac{\xi (x,y)}{\mathrm{\Delta }z}=\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{\lim }\frac{\xi (x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)}{\mathrm{\Delta }z}=0.$

Составим теперь разностное соотношение $\frac{f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f(z_0)}{\mathrm{\Delta }z}$ и преобразуем его к виду

$\frac{f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f(z_0)}{\mathrm{\Delta }z}=\frac{\frac{\partial f(z_0)}{\partial x_0}\mathrm{\Delta }x+\frac{1}{i}\frac{\partial f(z_0)}{\partial y_0}(i\mathrm{\Delta }y)+\xi (x,y)}{\mathrm{\Delta }z}.$

Условие дифференцируемости

Теперь, чтобы доказать достаточность условий Коши — Римана, подставим их в разностное соотношение и получим следующее:

$\frac{f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f(z_0)}{\mathrm{\Delta }z}=\frac{\frac{\partial f(z_0)}{\partial x_0}\mathrm{\Delta }x+\frac{\partial f(z_0)}{\partial x_0}(i\mathrm{\Delta }y)+\xi (x,y)}{\mathrm{\Delta }z}=\frac{\partial f(z_0)}{\partial x_0}+\frac{\xi (x,y)}{\mathrm{\Delta }z}.$

Заметим, что при стремлении $\mathrm{\Delta }z$ к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первое остаётся неизменным. Поэтому предел $\frac{\partial f(z_0)}{\partial z_0}=\underset{\underset{\mathrm{\Delta }z\in ℂ}{\mathrm{\Delta }z\to 0}}{\lim }\frac{f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f(z_0)}{\mathrm{\Delta }z}=f^{\prime }(z_0)$ одинаков в любом направлении приращения $\mathrm{\Delta }z,$ а не только вдоль вещественной и мнимой осей, а значит, этот предел существует, что и доказывает достаточность.

В полярных координатах

В полярной системе координат $(r,\phi )$ условия Коши — Римана выглядят так:

$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \phi };\frac{\partial u}{\partial \phi }=-r\frac{\partial v}{\partial r}.$

Компактная запись:

$\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{i}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi }=0.$

Связь модуля и аргумента дифференцируемой комплексной функции

Часто удобно записывать комплексную функцию в показательной форме:

$f(z)=R(x,y)e^{i\mathrm{\Phi }(x,y)}.$

Тогда условия Коши — Римана связывают модуль $R$ и аргумент $\mathrm{\Phi }$ функции следующим образом:

$\frac{\partial R}{\partial x}=R\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y};\frac{\partial R}{\partial y}=-R\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}.$

А если функция и её аргумент выражены в полярной системе одновременно:

$f(z)=R(r,\phi )e^{i\mathrm{\Phi }(r,\phi )},$

то запись приобретает вид:

$\frac{\partial R}{\partial r}=\frac{R}{r}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \phi };R\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial r}=-\frac{\partial R}{r\partial \phi }.$

Геометрический смысл условий Коши — Римана

Пусть функция $w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$ где $z=x+iy,$ дифференцируема. Рассмотрим в комплексной плоскости $(x,y)$ два семейства кривых (линии уровня).

Первое семейство: $u(x,y)=const.$

Второе семейство: $v(x,y)=const.$

Тогда условия Коши — Римана означают, что кривые первого семейства ортогональны кривым второго семейства.

Алгебраический смысл условий Коши — Римана

Если рассматривать множество комплексных чисел $ℂ$ как векторное пространство над $ℝ$, то значение производной функции $f:ℂ\to ℂ$ в точке является линейным отображением из 2-мерного векторного пространства $ℂ$ в себя ($ℝ$-линейность). Если же рассматривать $ℂ$ как одномерное векторное пространство над $ℂ$, то и производная в точке будет линейным отображением одномерного векторного пространства $ℂ$ в себя ($ℂ$-линейность), которое в координатах представляет собой умножение на комплексное число $f^{\prime }(z)$. Очевидно, всякое $ℂ$-линейное отображение $ℝ$-линейно. Так как поле (одномерное векторное пространство) $ℂ$ изоморфно полю вещественных матриц вида $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ с обычными матричными операциями, условия Коши — Римана, накладываемые на элементы матрицы Якоби отображения $f$ в точке $z$ (точнее, отображения $\tilde{f}:(x,y)\mapsto (u(x,y),v(x,y))$ в точке $(x,y)$), являются условиями $ℂ$-линейности $f^{\prime }(z)$, т.е. ${\tilde{f}}^{\prime }(x,y)$.

История

Эти условия впервые появились в работе д'Аламбера (1752). В работе Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 году, условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций.

Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 году. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 году.

См. также

• Комплексный анализ

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга