Производные Виртингера

Производные Виртингера (операторы ВиртингераШаблон:Sfn, формальные комплексные частные производныеШаблон:Sfn) — обобщение производной на случай комплексно недифференцируемых комплексных функций. Производные Виртингера обозначаются тем же символом, что и частные производные: $\frac{\partial }{\partial z}$ и $\frac{\partial }{\partial \overline{z}}$. Для комплексной функции одной переменной $f(z)$ определяются выражениями

$\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y})$,

$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y})$.

Для комплексной функции нескольких переменных $f(z_1,\dots ,z_n)$ производные Виртингера определяются выражениями

$\frac{\partial f}{\partial z_i}=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x_i}-i\frac{\partial f}{\partial y_i})$,

$\frac{\partial f}{\partial {\overline{z}}_i}=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x_i}+i\frac{\partial f}{\partial y_i})$.

Шаблон:Якорь Оператор $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}$ также называют оператором Коши-Римана или производной Коши-РиманаШаблон:SfnШаблон:Sfn. Некоторые авторы используют термин «оператор Коши-Римана» для обеих производных ВиртингераШаблон:Sfn.

Связь с вещественной дифференцируемостью

Рассмотрим вещественно-дифференцируемую функцию $f:G\subseteq ℂ\to ℂ$. Её дифференциал представляется в виде

$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$.

Обозначим $dz=dx+idy$, $d\overline{z}=dx-idy$. Подставляя новые обозначения и преобразуя выражения получим

$df=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y})dz+\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y})d\overline{z}$.

Из этого выражения мотивация к определению и такому обозначению производных Виртингера становится очевидна. Записав коэффициенты при дифференциалах обозначениями производных Виртингера, получаем

$df=\frac{\partial f}{\partial z}dz+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}d\overline{z}$.

Представление дифференциала в виде $df=pdx+qdy$ называется представлением дифференциала в вещественной форме, а в виде $df=adz+bd\overline{z}$ — представлением дифференциала в комплексной форме. Существование представления дифференциала в комплексной форме эквивалентно вещественной дифференцируемости. В случае существования такого представления, коэффициенты при дифференцилах определяются однозначно и могут быть вычислены при помощи соответствующих производных Виртингера по показанной выше формуле.

Для функций многих комплексных переменных всё аналогично. Представлением дифференциала в комплексной форме называется представление в виде $df=a_{1}d{z}_1+b_{1}d{\overline{z}}_1+\dots +a_{n}d{z}_n+b_{n}d{\overline{z}}_n$. Существование такого представления равносильно вещественной дифференцируемости и, если оно существует, оно единственно. При помощи производных Виртингера дифференциал функции несколько переменных в комплексной форме записывается следующим образом:

$df=\frac{\partial f}{\partial z_1}d{z}_1+\frac{\partial f}{\partial {\overline{z}}_1}d{\overline{z}}_1+\dots +\frac{\partial f}{\partial z_n}d{z}_n+\frac{\partial f}{\partial {\overline{z}}_n}d{\overline{z}}_n$.

Из существования всех производных Виртингера вещественной дифференцируемости ещё не следует, так как существование производных Виртингера эквивалентно существованию всех частных вещественных производных.

Связь с условиями Коши-Римана

Функция $f:G\subseteq ℂ\to ℂ$ комплексно-дифференцирума, если её дифференциал имеет вид

$df=adz$.

Из вышеизложенных свойств представления дифференциала в комплексной форме следует, что функция комплексно-дифференцируема тогда и только тогда, когда она вещественно-дифференцируема и вторая производная Виртингера $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=0$. Проведя простые преобразования нетрудно убедиться, что условие $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=0$ эквивалентно условиям Коши-Римана:

$\{\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x},\end{array}$

где $u(x,y)=\mathrm{Re}f(z)$, $v(x,y)=\mathrm{Im}f(z)$. Из этого становится понятным, почему $\frac{\partial }{\partial \overline{z}}$ также называют оператором Коши-Римана. Таким образом, при помощи производных Виртингера можно получить наглядное объяснение необходимости условий Коши-Римана для комплексной дифференцируемости.

Для функций многих комплексных переменных аналогично можно получить, что комплексная дифференцируемость эквивалентна вещественной дифференцируемости вместе с равенством всех вторых производных Виртингера нулю:

$\frac{\partial f}{\partial {\overline{z}}_i}=0,\mathrm{\forall }i=1\dots n$.

Это условие эквивалентно системе уравнений Коши-Римана для функции многих переменных.

Существует также противоположное понятие для равенства первой производной Виртингера нулю — антиголоморфность. Функция $f$ антиголоморфна в некотором открытом множестве, если она вещественно дифференцируема и

$\frac{\partial f}{\partial z}=0$ (для функции многих переменных $\frac{\partial f}{\partial z_i}=0,\mathrm{\forall }i=1\dots n$).

Для антиголоморфной функции дифференциал представляется в виде $df=ad\overline{z}$ (или $df=a_{1}d{\overline{z}}_1+\dots +a_{n}d{\overline{z}}_n$ для функций многих переменных). Антиголоморфность эквивалентна голоморфности сопряжённой функции.

См. также

• Моногенная функция
• Условия Коши-Римана
• Дифференциал (математика)

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Статья