Теорема Коши — Пуанкаре

Теорема Коши — Пуанкаре является обобщением на случай многомерного комплексного пространства интегральной теоремы Коши. Была доказана А. Пуанкаре в 1886 г.

Формулировка

Пусть $M$ — комплексное многообразие (комплексной) размерности $n$ и $\omega$ — голоморфная форма степени $n$ на этом многообразии. Тогда интеграл от $\omega$ по границе любой $(n+1)$ — мерной цепи $\sigma \subset M$ равен нулю: $\underset{d\sigma }{\int }\omega =0$

Доказательство

В локальных координатах $(z,\overline{z})$, действующих в окрестности $U\subset M$, голоморфная форма имеет вид: $\omega =f(z)d{z}_1\wedge ...\wedge d{z}_n$, где $f$ — голоморфная в $U$ функция. В силу голоморфности $\overline{\partial }f=0$ и, значит $df=\partial f=\sum _{\mu =1}^n\frac{\partial f}{\partial z_{\mu }}d{z}_{\mu }$; по свойствам внешнего произведения получаем, следовательно, что $d\omega =df\wedge d{z}_1\wedge ...\wedge d{z}_n=0$, то есть что форма $\omega$ замкнута. В силу формулы Стокса, интеграл от замкнутой формы $\omega (d\omega =0)$ по границе $\sigma =\partial {\sigma }^{\text{'}}$ равен нулю: $\underset{\sigma }{\int }\omega =\underset{\partial {\sigma }^{\text{'}}}{\int }d\omega =0$. Поэтому мы заключаем, что интеграл $\underset{d\sigma }{\int }\omega =0$ равен нулю.

Литература

• Б. В. Шабат Введение в комплексный анализ, часть II, Функции нескольких переменных, М., Наука, 1985