Теорема Мореры

Теорема Мореры представляет собой обращение (неполное) интегральной теоремы Коши и является одной из основных теорем теории функций комплексного переменного. Она может быть сформулирована так: Шаблон:Рамка Если функция $f(z)$ комплексного переменного $z$ в области $D$ непрерывна, и интеграл от неё по любому замкнутому спрямляемому контуру $\mathrm{\Gamma }\subset D$ равен нулю, то есть

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }f(z)dz=0,$

то $f(z)$ — аналитическая функция в $D$. Шаблон:Конец рамки Условие теоремы можно ослабить, ограничившись требованием обращения в нуль интегралов, взятых по границе любого треугольника, принадлежащего области $D$.

Идея доказательства

Доказательство основано на том, что функция, удовлетворяющая условиям теоремы, будет иметь первообразную в $D$, т. е. существует такая функция $F(z)$, что

$\frac{dF(z)}{dz}=f(z).$

Но функция, комплексно дифференцируемая один раз, является аналитической, поэтому её производная $f$ также будет аналитической.

Применение

Теорема Мореры является основным способом доказательства аналитичности некоторой сложно определённой функции. Одним из центральных утверждений при этом является то, что если последовательность $f_n$ аналитичных функций равномерно сходится к функции $f$, то

$\oint \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(z)dz=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\oint f_n(z)dz=0,$

поэтому, по теореме Мореры, предельная функция также будет голоморфной. Таким образом доказывается голоморфность многих функций, определённых рядами и интегралами, например, дзета-функции Римана

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

и гамма-функции Эйлера

$\mathrm{\Gamma }(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}dt.$

Теорема Мореры также используется для доказательства аналитичности функции, построенной по принципу симметрии.

История

Эта теорема была получена итальянским математиком Шаблон:Не переведено в 1886 году.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Шаблон:М: Наука. — 1969, 577 с.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld