Равностепенная непрерывность

Равностепенная непрерывность — свойство семейства непрерывных функций, заключающееся в том, что всё семейство функций изменяется некоторым контролируемым образом. Применяется, чтобы выбрать равномерно сходящуюся последовательность из некоторого семейства функций: теорема Арцела — Асколи позволяет это сделать для равностепенно непрерывного и равномерно ограниченного семейства на, например, компактном метрическом пространстве.

Определение

Точное определение равностепенной непрерывности зависит от контекста. В простейшем варианте пусть $C(a,b)$ — семейство вещественнозначных непрерывных функций на отрезке $[a,b]$, а $D\subset C(a,b)$ — некоторое его подсемейство. Это подсемейство называется равностепенно непрерывным, если для любого $\epsilon >0$ существует такое $\delta >0$, что для любой функции $f\in D$ и любых точек $x_1,x_2\in [a,b]$ из условия $|x_1-x_2|<\delta$ следует условие $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$. Как видно, условие равностепенной непрерывности семейства функций отличается от условия равномерной непрерывности всех функции по отдельности перенесением фрагмента «для любой $f\in D$» под пару кванторов на эпсилон и дельту.

Это определение можно дословно обобщить на случай компактных метрических пространств $X$ и $Y$ и подсемейства $D\subset C(X,Y)$ семейства непрерывных отображений из $X$ в $Y$: подсемейство $D$ называется равностепенно непрерывным, если для любого $\epsilon >0$ существует такое $\delta >0$, что для любой функции $f\in D$ и любых точек $x_1,x_2\in X$ из условия $d_X(x_1,x_2)<\delta$ следует условие $d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon$.

Путём замены $\epsilon$-$\delta$-формализма на формализм открытых подмножеств получается более общее определение для топологических пространств $X$ и $Y$ и подсемейства $D\subset C(X,Y)$ семейства непрерывных отображений из $X$ в $Y$: подсемейство $D$ называется равностепенно непрерывным в точке $x\in X$ и точке $y\in Y$, если для любой окрестности $W\ni y$ существует такая окрестность $V\ni x$, что любая функция $f\in D$ переводит $V$ в $W$. Отображение называется равностепенно непрерывным, если условие выше выполнено для всех пар $(x,y)\in X\times Y$. Если $X$ и $Y$ — топологические векторные пространства, а отображения между ними не только непрерывны, но и линейны, то достаточно проверять это условие в паре точек $(0_X,0_Y)$.

Теорема Арцела — Асколи

Теорема Арцела — Асколи утверждает, что для компактных метрических пространств равностепенная непрерывность $D$ равносильна относительной компактности $D$ $\subset$ $C(X,Y)$, снабжённом метрикой

$\rho (f,g)=\underset{x\in X}{max}{d}_Y(f(x),g(x))$.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
• Эдвардс Р., Функциональный анализ, пер. с англ., IT., 1969.