Круг сходимости

Круг сходимости степенного ряда $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$ — это круг вида

$D=\{z:|z-z_0|<R\}$, $z\in ℂ$,

в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при $|z-z_0|>R$, расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в множество, состоящее из одной точки $z_0$, когда $R=0$, и может совпадать со всей плоскостью переменного $z$, когда $R=\mathrm{\infty }$.

Радиус сходимости

Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда.

Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:

$\frac{1}{R}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}|a_n{|}^{1/n}$

Эта формула выводится на основе признака Коши.

Теорема Островского — Адамара

Для степенного ряда

$f(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_k(z-z_0{)}^k$,

у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов $a_{k(i)}$ удовлетворяет

$\frac{k(i+1)}{k(i)}>1+\delta$

для некоторого фиксированного $\delta >0$, круг с центром $z_0$ и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.

См. также

• Аналитическое продолжение