Степенной ряд

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

$F(X)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{X}^n,$

в котором коэффициенты $a_n$ берутся из некоторого кольца $R$.

Пространство степенных рядов

Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из $R$ обозначается $R[[X]]$. Пространство $R[[X]]$ имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом $R$ (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо $R$). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

В $R[[X]]$ определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть

$F(X)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{X}^n,G(X)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{X}^n,H(X)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{X}^n.$

Тогда:

$H=F+G\iff \mathrm{\forall }n{c}_n=a_n+b_n$

$H=F\cdot G\iff \mathrm{\forall }n{c}_n=\sum _{k+l=n}{a}_k{b}_l$

$H=F\circ G\iff \mathrm{\forall }n{c}_n=\sum _{s=1}^n{a}_s\sum _{k_1+\dots +k_s=n}{b}_{k_1}{b}_{k_2}\dots b_{k_s}$ (при этом необходимо, чтобы соблюдалось $b_0=0$)

$H=F^{\prime }\iff \mathrm{\forall }n{c}_n=(n+1)a_{n+1}$

Сходимость степенных рядов

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путём приписывания формальной переменной $X$ какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

• Первая теорема Абеля: Пусть ряд $\mathrm{\Sigma }{a}_n{x}^n$ сходится в точке $x_0$. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге $|x|<|x_0|$ и равномерно по $x$ на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при $x=x_0$, он расходится при всех $x$ таких, что $|x|>|x_0|$. Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга $R$ (возможно, нулевой или бесконечный), что при $|x|<R$ ряд сходится абсолютно (и равномерно по $x$ на компактных подмножествах круга $|x|<R$), а при $|x|>R$ — расходится. Это значение $R$ называется радиусом сходимости ряда, а круг $|x|<R$ — кругом сходимости.

• Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда (если верхний предел существует и положителен, теорема Адамара о степенном ряде) может быть вычислено по формуле:

$\frac{1}{R}=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}|a_n{|}^{1/n}$

(По поводу определения верхнего предела $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}$ см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть $F(x)$ и $G(x)$ — два степенных ряда с радиусами сходимости $R_F$ и $R_G$. Тогда

$R_{F+G}\ge \min \{R_F,R_G\}$

$R_{F\cdot G}\ge \min \{R_F,R_G\}$

$R_{F^{\prime }}=R_F$

Если у ряда $G(x)$ свободный член нулевой, тогда

$R_{F\circ G}\ge \frac{R_F}{R_F+1}{R}_G$

Вопрос о сходимости ряда в точках границы $|x|=R$ круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

• Признак Д’Аламбера: Если при $n>N$ и $\alpha >1$ выполнено неравенство

$\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\ge R(1+\frac{\alpha }{n})$

тогда степенной ряд $\mathrm{\Sigma }{a}_n{x}^n$ сходится во всех точках окружности $|x|=R$ абсолютно и равномерно по $x$.

• Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда $\mathrm{\Sigma }{a}_n{x}^n$ положительны и последовательность $a_n$ монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности $|x|=1$, кроме, быть может, точки $x=1$.

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра $x$ является предметом изучения теории аналитических функций.

Степенной ряд от n переменных

Степенной ряд от n переменных — это формальное алгебраическое выражение вида:

$F(X_1,X_2,\dots ,X_n)=\sum _{k_1,k_2,\dots ,k_n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_{k_1,k_2,\dots ,k_n}{X}_1^{k_1}{X}_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}$

или, в мультииндексных обозначениях,

$F(X)=\sum _{\alpha }{a}_{\alpha }{X}^{\alpha },$

где $X$ — это вектор $X=(X_1,X_2,\dots ,X_n)$, $\alpha$ — мультииндекс $\alpha =(k_1,k_2,\dots ,k_n)$, $X^{\alpha }$ — одночлен $X^{\alpha }=X_1^{k_1}{X}_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}$. Пространство степенных рядов от $n$ переменных и коэффициентами из $R$ обозначается $R[[X_1,X_2,\dots ,X_n]]$. В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования по каждой переменной и $n$-местной суперпозиции. Пусть

$F(X)=\sum _{\alpha }{a}_{\alpha }{X}^{\alpha },G(X)=\sum _{\alpha }{b}_{\alpha }{X}^{\alpha },H(X)=\sum _{\alpha }{c}_{\alpha }{X}^{\alpha }.$

Тогда:

$H=F+G\iff \mathrm{\forall }\alpha c_{\alpha }=a_{\alpha }+b_{\alpha }$

$H=F\cdot G\iff \mathrm{\forall }\alpha c_{\alpha }=\sum _{\beta +\gamma =\alpha }{a}_{\beta }{b}_{\gamma }$

$H=\frac{\partial F}{\partial X_i}\iff \mathrm{\forall }(k_1,k_2,\dots ,k_n)c_{k_1,k_2,\dots ,k_n}=(k_i+1)a_{(k_1,k_2,\dots ,k_i+1,\dots ,k_n)}$

См.также

• Ряд Пюизё
• Теорема Харди — Литтлвуда