Теорема Абеля

Шаблон:Другие значения Теорема Абеля — результат теории степенных рядов, названный в честь норвежского математика Нильса Абеля. Обратной к ней является теорема Абеля — Таубера.

Утверждение

Пусть $f(x)=\sum _{n⩾0}{a}_n{x}^n$ — степенной ряд с комплексными коэффициентами и радиусом сходимости $R$.

Если ряд $\sum _{n⩾0}{a}_n{R}^n$ является сходящимся, тогда:

$\underset{x\to R^{-}}{\lim }f(x)=\sum _{n⩾0}{a}_n{R}^n$.

Доказательство

Заменой переменных $u=x/R$, можно считать $R=1$. Также (необходимым подбором $a_0$) можно предположить $\sum a_n=0$. Обозначим $S_n$ частичные суммы ряда $\sum a_n$. Согласно предположению $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=0$ и нужно доказать, что $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=0$.

Рассмотрим $x\in [0,1]$. Тогда (приняв $S_{-1}=0$):

$\sum _{n=0}^N(S_n-S_{n-1})x^n=\sum _{n=0}^N{S}_n(x^n-x^{n+1})+S_N{x}^{N+1}.$

Отсюда получается $f(x)=(1-x)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{S}_n{x}^n$.

Для произвольного $\epsilon >0$ существует натуральное число $N_0$, что $|S_n|\le \epsilon$ для всех $n>N_0$, поэтому:

$|f(x)|⩽(1-x)\left|\sum _{n=0}^{N_0}{S}_n{x}^n\right|+(1-x)\epsilon \sum _{n=N_0+1}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=(1-x)\left|\sum _{n=0}^{N_0}{S}_n{x}^n\right|+\epsilon x^{N_0+1}.$

Правая часть стремится к $\epsilon$ когда $x$ стремится к 1, в частности она меньше $2\epsilon$ при следовании $x$ к 1.

Примеры

Примеры 1

Возьмем

$f(x)=\sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^n}{n}=\ln (1+x)$

. Поскольку ряд

$\sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$

сходится, имеем:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\ln 2=\sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$

Примеры 2

Возьмем

$g(x)=\sum _{n⩾0}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}=\arctan (x)$

. Поскольку ряд

$\sum _{n⩾0}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$

сходится, имеем:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g(x)=\arctan (1)=\frac{\pi }{4}=\sum _{n⩾0}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$

Ссылки

• Шаблон:PlanetMath (a more general look at Abelian theorems of this type)
• Шаблон:MathWorld