Теорема Адамара о степенном ряде

Теорема Адамара о степенном ряде (также теорема Коши — Адамара) — утверждение, которое даёт оценку радиуса сходимости степенных рядов для некоторых случаев. Названа в честь французских математиков Коши и Адамара. Теорема была опубликована Коши в 1821, но оставалась незамеченной пока Адамар не переоткрыл её. Адамар опубликовал результат в 1888 году. Он также включил его в докторскую диссертацию в 1892 году.

Формулировка

Пусть $\sum _{\nu =0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_{\nu }(z-z_0{)}^{\nu }$ — степенной ряд с радиусом сходимости $R$. Тогда:

$(\alpha )$ если верхний предел $\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}$ существует и положителен, то $R=\frac{1}{\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}}$;

$(\beta )$ если $\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}=0$, то $R=+\mathrm{\infty }$;

$(\gamma )$ если верхнего предела $\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}$ не существует, то $R=0$.

Доказательство

$(\alpha )$ Пусть $\lambda =\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}\in (0;+\mathrm{\infty })$.

Если точка $z\in ℂ$ такова, что $|z-z_0|<\frac{1}{\lambda }$, то $\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }{(z-z_0)}^{\nu }|}<1$ и можно найти такое число $q<1$, что почти для всех $\nu$ будет выполняться $\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }{(z-z_0)}^{\nu }|}<q$. Из этого неравенства следует, что геометрическая прогрессия $\sum _{\nu =0}^{+\mathrm{\infty }}{q}^{\nu }$ является сходящейся мажорантой ряда $\sum _{\nu =0}^{+\mathrm{\infty }}|a_{\nu }{(z-z_0)}^{\nu }|$, то есть $R=\frac{1}{\lambda }$.

Если, наоборот, точка $z\in ℂ$ удовлетворяет условию $|z-z_0|>\frac{1}{\lambda }$, то $\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}(\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}\cdot |z-z_0|)>1$ и для бесконечного множества номеров $\nu$ будет выполняться $|a_{\nu }{(z-z_0)}^{\nu }|⩾1$. Следовательно, ряд $\sum _{\nu =0}^{+\mathrm{\infty }}|a_{\nu }(z-z_0{)}^{\nu }|$ в точке $z$ расходится, поскольку его члены не стремятся к нулю.

$(\beta )$ Пусть $\lambda =\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}=0$. Тогда для каждого $z\in ℂ$ последовательность $\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }{(z-z_0)}^{\nu }|}$ сходится к нулю. Поэтому, если выбрать число $q=q(z)\in (0;1)$, то для почти всех номеров $\nu$ будет выполняться неравенство $|a_{\nu }{(z-z_0)}^{\nu }|<q^{\nu }$, откуда, как и в $(\alpha )$, следует сходимость ряда в точке $z$. Формально $R=\frac{1}{+0}=+\mathrm{\infty }$.

$(\gamma )$ Верхнего предела $\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}$ в $ℝ$ не существует (т.е. формально $\lambda =\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}=+\mathrm{\infty }\in \overline{ℝ}$) в том и только том случае, если последовательность $\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}$ неограничена сверху. Если $z\ne z_0$, то неограничена и последовательность $\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }{(z-z_0)}^{\nu }|}$. Поэтому ряд $\sum _{\nu =0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_{\nu }(z-z_0{)}^{\nu }$ в точке $z\ne z_0$ расходится. Следует отметить, что при $z=z_0$ ряд $\sum _{\nu =0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_{\nu }(z-z_0{)}^{\nu }$ сходится к $a_0$. Окончательно $R=0$ (т.е. формально $R=\frac{1}{+\mathrm{\infty }}=+0$, фактически $R=\underset{\nu \to +\mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}\frac{1}{\sqrt[\nu ]{|a_{\nu }|}}=0$).

Литература

• Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисления, М., Мир, 1971