Квадратный корень из матрицы

Квадратный корень из матрицы — расширение понятия числового квадратного корня на кольцо квадратных матриц.

Определение

Матрица $𝐁$ называется квадратным корнем из матрицы $𝐀$, если квадрат $𝐁,$ то есть матричное произведение $𝐁𝐁,$ совпадает с матрицей $𝐀.$

Существование и однозначность

Не для всех матриц квадратный корень существует. Например, не имеет корня матрица $\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 0& 0\end{array}\right),a\ne 0$. Эта матрица также является делителем нуля и квадратным корнем из нуля. Таким образом, в кольце матриц нуль имеет бесконечно много квадратных корней.

В тех случаях, когда корень существует, он не всегда определён однозначно. Например, матрица $\left(\begin{array}{cc}33& 24\\ 48& 57\end{array}\right)$ имеет четыре корня: $\pm \left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 8& 5\end{array}\right)$ и $\pm \left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 4& 7\end{array}\right)$.

Единичная матрица $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ имеет следующие 6 корней среди матриц, состоящих из $0$, $-1$ и $+1$:

$\left(\begin{array}{cc}\pm 1& 0\\ 0& \pm 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\pm 1& 0\\ 0& \mp 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& \pm 1\\ \pm 1& 0\end{array}\right);$

а также бесконечно много симметричных рациональных квадратных корней вида:

$\frac{1}{t}\left(\begin{array}{cc}s& r\\ r& -s\end{array}\right),\frac{1}{t}\left(\begin{array}{cc}s& -r\\ -r& -s\end{array}\right),\frac{1}{t}\left(\begin{array}{cc}-s& r\\ r& s\end{array}\right),\frac{1}{t}\left(\begin{array}{cc}-s& -r\\ -r& s\end{array}\right),$

где $(r,s,t)$ — произвольная пифагорова тройка, то есть тройка натуральных чисел, для которых $r^2+s^2=t^2$.

Сложность извлечения корня из матрицы обусловлена тем, что кольцо матриц некоммутативно и имеет делители нуля, то есть не является областью целостности. В области целостности, например в кольце многочленов над полем, всякий элемент имеет не более двух квадратных корней.

Положительно определённые матрицы

Положительно определённая матрица всегда имеет ровно один положительно определённый корень, который называется арифметическим квадратным корнем.

Всего же положительно определённая матрица $A$ порядка $n$ с различными собственными значениями имеет $2^n$ корней. Разложив такую матрицу по собственным векторам, получим её представление в виде $𝐀=𝐕𝐃{𝐕}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}},$ где $𝐃$ — диагональная матрица с собственными значениями ${\lambda }_i>0$. Тогда квадратные корни из матрицы $A$ имеют вид $𝐕{𝐃}^{\frac{1}{2}}{𝐕}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}},$ где ${𝐃}^{\frac{1}{2}}$ — диагональная матрица с элементами $\pm \sqrt{{\lambda }_i}$ на диагонали.

Литература

• Гантмахер Ф. Р.. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953, С. 212—219.
• Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. Спб.: БХВ-Петербург, 2006.