Формула Муавра

Формула Муавра для комплексного числа $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ утверждает, чтоШаблон:Sfn:

$z^n=r^n(\cos \phi +i\sin \phi {)}^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$

для любого целого числа $n$.

Названа в честь английского математика Абрахама де Муавра, в трудах которого была приведена формула, эквивалентная приведённой (1707, далее 1722 и 1740 годы), в современной символике она опубликована ЭйлеромШаблон:Sfn.

Извлечение корней

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-й степени из ненулевого комплексного числаШаблон:Sfn:

$z^{1/n}=\left[r\right(\cos (\phi +2\pi k)+i\sin (\phi +2\pi k)){]}^{1/n}=r^{1/n}(\cos \frac{\phi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\phi +2\pi k}{n}),$

где $k=0,1,\dots ,n-1$.

Из этой формулы следует, что корни $n$-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно $n$. На комплексной плоскости, как видно из той же формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $\sqrt[n]{r}$ с центром в нуле.

Связь с формулой Эйлера

Исторически формула Муавра была доказана ранее формулы Эйлера:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

однако немедленно следует из неё.

Для любого целого $n$ верно

$(e^{ix}{)}^n=e^{inx}.$

По формуле Эйлера левая часть равна $(\cos x+i\sin x{)}^n$, в то время как правая равна

$e^{inx}=\cos nx+i\sin nx.$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга