Корни из единицы

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена $x^n-1$, где $n⩾1$. Другими словами, это комплексные числа, n-я степень которых равнаШаблон:Nbsp1. В общей алгебре рассматриваются также корни многочлена $x^n-1$ не только в комплексном, но и в произвольном ином поле, характеристика $p$ которого не является делителем степени $n$ многочленаШаблон:Sfn.

Корни из единицы широко используются в математике, особенно в теории чисел, быстром преобразовании Фурье, теории расширений полей, теории построений циркулем и линейкой, представлениях групп.

Представление

Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:

$1=\cos 0+i\sin 0.$

Тогда по формуле Муавра получим выражениеШаблон:Sfn для $k$-го корня n-й степени из единицы $u_k$:

$u_k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n},k=0,1,\dots ,n-1.$

Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме:

$u_k=e^{\frac{2\pi k}{n}i},k=0,1,\dots ,n-1.$

Из этих формул вытекает, что корней n-й степени из единицы всегда ровно $n$, и все они различныШаблон:Sfn.

Примеры

Кубические корни из единицы

Кубические корни из единицы:

$\{1,\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\}.$

Корни 4-й степени из единицы:

$\{1,+i,-1,-i\}.$

Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента, степени каждого из которых охватывают все корни 5-й степени:

$\left\{e^{\frac{2\pi ik}{5}}\right|k\in \{1,2,3,4\}\}=\{\frac{u\sqrt{5}-1}{4}+v\sqrt{\frac{5+u\sqrt{5}}{8}}i|u,v\in \{-1,1\}\}.$

Для корня 6-й степени порождающих элементов только два ($u_1$ и $u_5$):

$\{\frac{1+i\sqrt{3}}{2},\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\}.$

Свойства

Геометрические свойства

Модуль каждого корня равенШаблон:Nbsp1. На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность. Одной из вершин всегда является комплексная единица $1+0i.$ Вещественных корней может быть либо два, если $n$ чётно (единица и минус единица), либо один (единица), если $n$ нечётно. В любом случае невещественных корней чётное число, они располагаются симметрично относительно горизонтальной оси. Последнее означает, что если $u_k$ — корень из единицы, то сопряжённое к нему число $\overline{u_k}$ — тоже корень из единицыШаблон:Sfn.

Пусть M — произвольная точка единичной окружности и $n>1.$ Тогда сумма квадратов расстояний от M до всех корней $n$-й степени из единицы равна $2n$.

Алгебраические свойства

Корни из единицы представляют собой целые алгебраические числа.

Корни из единицы образуют по умножению коммутативную конечную группу порядка $n$. В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. Нейтральным элементом группы является комплексная единицаШаблон:Sfn.

Корни 6-й степени из единицы как степени первого порождающего элемента

Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов ${\mathbb{Z}}_n.$ Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент $u_k$, индекс $k$ которого взаимно прост с $n$.

СледствияШаблон:Sfn:

• элемент $u_1$ всегда является первообразным (его часто называют главным корнем из единицы);
• если $n$ — простое число, то степени любого корня, кроме $\pm 1$, охватывают всю группу (то есть все корни, кроме $\pm 1$, являются первообразными);
• число первообразных корней равно $\phi (n)$, где $\phi$ — функция Эйлера.

Если $n>1$, то для любого первообразного корня из единицы $u$ имеют место формулы

$\sum _{k=0}^{n-1}{u}^k=\frac{u^n-1}{u-1}=0,$

$\prod _{k=1}^{n-1}|1-u_k|=n.$

Круговые поля

Шаблон:Main Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле $K_n=\mathbb{Q}(u)$, порождённое присоединением к полю рациональных чисел $\mathbb{Q}$ первообразного корня n-й степени из единицы $u$. Круговое поле является подполем поля комплексных чисел; оно содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними.

Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: $K_3$ состоит из комплексных чисел вида $a+b\sqrt{3}i$, где $a,b$ — рациональные числа.

Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

Обобщения

Корни из единицы n-й степени можно определить не только для комплексных чисел, но и для любого другого алгебраического поля $K$ как решения уравнения $x^n=1$, где $1$ — единица поля $K$. Корни из единицы существуют в любом поле и образуют подгруппу мультипликативной группы поля $K$. Обратно, любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля $K$ содержит только корни из единицы и является циклическойШаблон:Sfn.

Если характеристика поля ненулевая, то группа корней из единицы совместно с нулём образует конечное поле.

История

Широкое применение корней из единицы как инструмента исследования начал Гаусс. В своей монографии «Арифметические исследования» (1801) он впервые решил древнюю задачу о делении окружности циркулем и линейкой на n равных частей (или, что то же, о построении правильного многоугольника с n сторонами). С помощью корней из единицы Гаусс свёл задачу к решению уравнения деления круга:

$x^{n-1}+x^{n-2}+\dots +x+1=0.$

Дальнейшие рассуждения Гаусса показали, что задача имеет решение, только если n может быть представлено в виде $2^{2^r}+1$. Подход Гаусса использовали позднее Лагранж и Якоби. Коши применил корни из единицы для исследования более общей задачи решения алгебраических уравнений со многими неизвестными (1847 год).

Новые применения корней из единицы обнаружились после создания в начале XX века абстрактной алгебры. Эмми Нётер и Эмиль Артин использовали это понятие в теории расширений полей и обобщении теории ГалуаШаблон:Sfn.

См. также

• Круговой многочлен
• Первообразный корень из единицы

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite web

Ссылки

• Комплексные корни n-й степени из единицы и решение уравнений.