Представление группы

Представле́ние гру́ппы — вообще говоря, любое действие группы. Однако чаще всего под представлением группы понимается линейное представление группы, то есть действие группы на векторном пространстве. Иными словами, представление группы — это гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

Представления групп позволяют свести многие теоретико-групповые задачи к задачам линейной алгебры. Представления групп также имеют приложения в теоретической физике, так как позволяют понять, как группа симметрии физической системы влияет на решения уравнений, описывающих эту систему.

Определение

Пусть $G$ — заданная группа и $W$ — векторное пространство. Тогда представление группы $G$ — это отображение $A$, ставящее в соответствие каждому элементу $g\in G$ невырожденное линейное преобразование $A_g:W\to W$, причём выполняются свойства

$A_{gh}=A_g{A}_h,A_{g^{-1}}=A_g^{-1}(\mathrm{\forall }g,h\in G).$

Векторное пространство $W$ называется в этом случае пространством представления $A$. Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений (групп). Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры, зачастую допускающим решение вычислительного характера. Этим объясняется большая роль теории представлений в различных вопросах алгебры и других разделов математики. Например, одномерные представления симметрической группы $S_n$ и знакопеременной группы $A_n$ играют большую роль при доказательстве невозможности разрешения в радикалах алгебраического уравнения степени выше 4. В квантовой механике важную роль играют бесконечномерные (в которых векторное пространство — гильбертово) представления групп (в первую очередь группы Лоренца).

Связанные определения

• Пусть $A:G\to \mathrm{Aut}(W)$ есть представление группы $G$, здесь $\mathrm{Aut}(W)$ — группа невырожденных линейных преобразований (автоморфизмов) пространства $W$. Размерностью представления $A$ называется размерность векторного пространства $(\dim W).$

• Представления $A:G\to \mathrm{Aut}(W)$ и $A^{\prime }:G\to \mathrm{Aut}(W^{\prime })$ одной и той же группы $G$ называются эквивалентными, если существует такой изоморфизм $C:W^{\prime }\to W$ векторных пространств, что $A{\text{'}}_g=C^{-1}{A}_{g}C(\mathrm{\forall }g\in G).$ Отсюда следует, в частности, что эквивалентные представления имеют одинаковую размерность. Обычно представления рассматриваются с точностью до эквивалентности.

• Представление $A:G\to \mathrm{Aut}(W)$ называется прямой суммой представлений $A^{(i)}:G\to \mathrm{Aut}(W_i),i=1,\dots ,n,$ если $W=W_1\oplus \cdots \oplus W_n$ (здесь знак $\oplus$ означает прямую сумму векторных пространств), причём для каждого $g\in G$ подпространство $W_i\subset W$ инвариантно относительно преобразования $A_g:W\to W$ и индуцированное ограничением $A$ на $W_i$ представление $G\to \mathrm{Aut}(W_i)$ эквивалентно $A^{(i)}.$

• Для данного представления $A:G\to \mathrm{Aut}(W)$ отображение ${\chi }_A:g\to \mathrm{t}\mathrm{r}A(g)$ называется характером $A$; здесь $\mathrm{t}\mathrm{r}$ обозначает след.

Типы представлений

• Представление называется точным, если ядро соответствующего гомоморфизма состоит лишь из единичного элемента.

• Представление группы $G$ называется приводимым, если в векторном пространстве $W$ есть подпространство, отличное от нулевого и самого $W$, инвариантное для всех преобразований $A_g:W\to W(\mathrm{\forall }g\in G)$. В противном случае представление называется неприводимым, или простым (при этом представление на пространстве $W=\{0\}$ не считается неприводимым). Теорема Машке утверждает, что конечномерные представления конечных групп над полем характеристики ноль (или положительной, но не делящей порядок группы) всегда раскладываются в прямую сумму неприводимых.

• Всякое неприводимое представление коммутативной группы над полем комплексных чисел одномерно. Такие представления называются характерами.

• Представление называется регулярным, если $W$ — пространство функций на группе $G$ и линейное преобразование $A_g:W\to W$ ставит в соответствие каждой функции $f(\omega ),\omega \in G,$ функцию $f(g\omega ),\omega \in G$. Иными словами, регулярным называется естественное представление на групповом кольце группы.

• Представление называется унитарным относительно некоторого эрмитова скалярного произведения в пространстве $W$ над полем $ℂ$, если все преобразования $A_g:W\to W(\mathrm{\forall }g\in G)$ являются унитарными. Представление называется унитаризуемым, если в векторном пространстве $W$ (над полем $ℂ$) множно ввести такое эрмитово скалярное произведение, относительно которого оно является унитарным. Любое представление конечной группы $G$ унитаризуемо: достаточно выбрать в пространстве $W$ произвольное эрмитово скалярное произведение $⟨x,y⟩$ и определить искомое эрмитово скалярное произведение формулой $(x,y)=\sum _{g\in G}⟨A_g(x),A_g(y)⟩.$

• Если $G$ ― топологическая группа, то под представлением группы $G$ обычно понимается непрерывное линейное представление $A$ группы $G$ в топологическом векторном пространстве $W$. Это значит, что непрерывно отображение из $G\times W$ в $W$, заданное как $(g,v)\mapsto A_{g}v$.

Примеры

• Унитарная группа U(1) может быть представлена как группа вращений двумерного пространства вокруг центра.
• Представление симметрической группы $S_n$ может быть получено следующим образом. Выберем в векторном пространстве $W$ размерности $n$ базис $e_1,\dots ,e_n$. Для каждой перестановки $g\in S_n:(1,\dots ,n)\mapsto (i_1,\dots ,i_n)$ определим линейное преобразование $A_g:W\to W,$ переводящее базисный вектор $e_k$ в базисный вектор $e_{i_k},$ где $k=1,\dots ,n.$ Таким образом получается $n$-мерное представление группы $S_n.$
• Неприводимое двумерное представление группы $S_3$ можно получить, выбрав в плоскости $W$ базис $e_1,e_2,$ положив вектор $e_3=-(e_1+e_2)$ и определив для каждой перестановки $g\in S_3:(1,2,3)\mapsto (i_1,i_2,i_3)$ линейное преобразование $A_g:W\to W$, переводящее $e_1$ в $e_{i_1}$ и $e_2$ в $e_{i_2}.$
• Присоединённое представление — представление группы Ли, действующее на соответствующей алгебре Ли.
• Коприсоединённое представление — представление, Шаблон:Iw к присоединённому.

Вариации и обобщения

В более широком смысле под представлением группы может пониматься гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований некоторого множества $X$. Например:

• Проективное представление группы — гомоморфизм группы в группу проективных преобразований проективного пространства.

Ссылки

• Характер представления группы

Литература

• Березин Ф. А., Гельфанд И. М., Граев М. И., Наймарк М. А. Представления групп // УМН. — 1956. Т. 11. — Вып. 6 (72). — С. 13–40.
• Винберг Э. Б. Линейные представления групп. — М.: Наукa, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
• Наймарк М. А. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976.
• Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. — М.: Мир, 1970.
• Шейнман О. К. Основы теории представлений. — М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Р. Борчердс, Шаблон:YouTube Playlist