Проективное представление
Проективное представление группы на векторном пространстве над полем — это гомоморфизм в проективную группу
где — полная линейная группа, а — нормальная подгруппа, состоящая из скалярных множителей тождественного оператора.[1] Иными словами, это набор операторов таких, что
для некоторой константы .
Некоторые проективные представления можно получить из представлений с помощью факторотображения . Особый интерес для алгебры представляет ситуация, когда данное проективное представление может быть «поднятно» до обычного линейного представления в общем случае препятствия к этому описываются когомологиями групп.
Важнейшим случаем являются проективные представления групп Ли, изучение которых приводит к рассмотрению представлений их центральных расширений. Во многих интересных случаях достаточно исследовать представления накрывающих групп, которым соответствуют проективные представления накрываемой группы:
- Специальная ортогональная группа дважды накрывается спинорной группой .
- В частности, группа вращений трёхмерного пространства накрывается , изучение представлений которой соответственно имеет важнейшее значение для нерелятивистской теории спина.
- Аналогично, релятивистская теория спина начинается с рассмотрения представлений универсального накрытия группы Лоренца .
- Универсальное накрытие группы Пуанкаре есть полупрямое произведение , представления которой дают нам классификацию Вигнера частиц и полей в физике.
Теорема Баргмана утверждает, что если двумерные когомологии алгебры Ли тривиальны, то всякое проективное унитарное представление может быть поднятно до обычного унитарного представления .[2][3] Условия теоремы выполнены, в частности, для полупростых групп Ли и группы Пуанкаре.
См. также
- Спинор
- Спинорная группа
- Физика элементарных частиц и теория представлений
- Расширение группы
- Симметрия в квантовой механике
- Теория представлений группы Лоренца