Группа Пуанкаре

Гру́ппа Пуанкаре́ (неоднородная группа Лоренца) — группа движений пространства Минковского, совпадающая с группой всех вещественных преобразований 4-векторов $x=x^{\mu }=\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$ вида $x{\text{'}}^{\mu }={\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }+a^{\mu }$, где $\mathrm{\Lambda }$ — преобразование из группы Лоренца, $a^{\mu }$ — 4-вектор смещения (трансляции). Элемент группы Пуанкаре обычно записывается как $\{a,\mathrm{\Lambda }\}$, а закон композиции имеет вид

$\{a_1,{\mathrm{\Lambda }}_1\}\{a_2,{\mathrm{\Lambda }}_2\}=\{a_1+{\mathrm{\Lambda }}_1{a}_2,{\mathrm{\Lambda }}_1{\mathrm{\Lambda }}_2\}.$

Группа Пуанкаре относится к классу линейных неоднородных групп, обозначается как $P$ или $IO(1,3)$ и играет важную роль в специальной теории относительности, являясь группой её глобальной симметрии. Математическая форма

• законов релятивистской кинематики,
• уравнений Максвелла в теории электромагнетизма,
• уравнения Дирака в теории электрона

остаётся инвариантной по отношению к преобразованиям Лоренца. Таким образом, группа Пуанкаре характеризует фундаментальную симметрию наиболее важных законов природы.

Группа была введена в 1905 году Анри Пуанкаре. Как и группа Лоренца, группа $P$ имеет четыре компоненты связности, различаемые значениями $\det \mathrm{\Lambda }$ и знаком ${\mathrm{\Lambda }}_0^0$. Это — неабелева, некомпактная и непростая группа Ли. Наиболее важной является компонента $P$, у которой $\det \mathrm{\Lambda }=1$, ${\mathrm{\Lambda }}_0^0>0$, содержащая тождественное преобразование.

Группа $P$ — 10-параметрическая: к шести генераторам $M_{\mu \nu }$ группы Лоренца добавляются четыре генератора трансляций.