Группа Лоренца

Гру́ппа Ло́ренца — группа преобразований Лоренца пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами).

Группа Лоренца состоит из однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени:

${x_{\nu }}^{\prime }=\sum _{\mu }{L}_{\nu \mu }{x}_{\mu },$

$x_0=ct,x_1=x,x_2=y,x_3=z,$

которые оставляют инвариантной квадратичную форму с сигнатурой (1, 3), которая является математическим выражением четырёхмерного интервала $s^2=c^2{t}^2-x^2-y^2-z^2$. В частности, группа Лоренца включает пространственные повороты в трёх плоскостях $xy,yz,zx$, лоренцевы преобразования $xt,yt,zt$, отражения пространственных осей $x,y,z$: $x\to -x,y\to -y,z\to -z$ и все их произведения.

Группа Лоренца — частный случай неопределённой ортогональной группы, и поэтому обозначается $O(1,3)$ (либо $O(3,1)$, что соответствует квадратичной форме с противоположными знаками и переставленными координатами), $O(1,3;ℝ)$ или ${\mathrm{O}}_{1,3}(ℝ)$, а также $ℒ$.

Специальная группа Лоренца или собственная группа Лоренца $SO(1,3)$ — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен ±1).

Ортохронная группа Лоренца $O_{\uparrow }(1,3)$ (также обозначается ${\mathrm{O}}_{1,3}^{+}(ℝ)$, и она может быть отождествлена с Шаблон:Iw ${\mathrm{P}\mathrm{O}}_{1,3}(ℝ)$), специальная (или собственная) ортохронная группа Лоренца $S{O}_{\uparrow }(1,3)$ — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени (знак координаты $x^0$). Группа $S{O}_{\uparrow }(1,3)$, единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса.

Иногда условие ортохронности включают в определение группы Лоренца, в этом случае группа, включающая преобразования, которые меняют направление времени, может называться общей группой ЛоренцаШаблон:SfnШаблон:Sfn. Иногда также под группой Лоренца подразумевают собственную ортохронную группу ЛоренцаШаблон:Sfn.

Представления группы Лоренца

Шаблон:Симметрия в физике

Пусть физическая величина (например, четырёхмерный вектор энергии-импульса или потенциал электромагнитного поля) описывается многокомпонентной функцией координат $U_{\alpha }(x)$. При переходе из одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты физической величины линейно преобразуются друг через друга: ${u_{\beta }}^{\prime }=\sum _{\alpha }{\mathrm{\Lambda }}_{\beta \alpha }{u}_{\alpha }(x)$. При этом матрица $\mathrm{\Lambda }$ имеет ранг $\nu$, равный числу компонент величины $u_{\alpha }$. Каждому элементу группы Лоренца $P$ соответствует линейное преобразование $\mathrm{\Lambda }(P)$, единичному элементу группы Лоренца (тождественному преобразованию) соответствует единичное преобразование $\mathrm{\Lambda }=1$, а произведению двух элементов группы Лоренца $P_1$ и $P_2$ соответствует произведение двух преобразований $\mathrm{\Lambda }(P_1{P}_2)=\mathrm{\Lambda }(P_1)\mathrm{\Lambda }(P_2)$. Систему матриц с перечисленными свойствами называют линейным представлением группы Лоренца.Шаблон:Sfn

Представления группы Лоренца в комплексных линейных пространствах очень важны для физики, так как связаны с понятием спина. Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца $S{O}_{\uparrow }(1,3)$ можно построить при помощи спиноров.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга  (Излагается векторная параметризация группы Лоренца и её применение)
• Шаблон:Книга. See Chapter III for the orthogonal groups O(p, q).
• Шаблон:Книга. A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
• Шаблон:Книга. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
• Шаблон:Книга. See Lecture 11 for the irreducible representations of SL(2,C).
• Шаблон:Книга. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
• Шаблон:Книга. See also the Шаблон:Cite web See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
• Шаблон:Книга. An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
• Шаблон:Книга. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.
• Шаблон:Книга

См. также

• Прецессия Томаса
• Группа Пуанкаре