Неопределённая ортогональная группа

Неопределённая ортогональная группа $\mathrm{O}(p,q)$ — это группа Ли всех линейных преобразований n-мерного вещественного векторного пространства, которые оставляют инвариантной Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Iw с сигнатурой $(p,q)$, где $n=p+q$. Размерность группы равна $n(n-1)/2$.

Неопределённая специальная ортогональная группа $\mathrm{S}\mathrm{O}(p,q)$ является подгруппой $\mathrm{O}(p,q)$, состоящей из всех элементов с определителем 1. В отличие от определённого случая, группа $\mathrm{S}\mathrm{O}(p,q)$ не связна: она имеет две компоненты и две дополнительные подгруппы с конечным индексом, а именно связная ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(p,q)$ и ${\mathrm{O}}^{+}(p,q)$, которая имеет две компоненты — см. раздел Топология, в котором дано определение и доказан этот факт.

Сигнатура формы определяет группу с точностью до изоморфизма. Перестановка p и q приводит к смене знака скалярного произведения, что даёт ту же самую группу. Если p или q равно нулю, группа изоморфна обычной ортогональной группе O(n). Далее мы предполагаем, что p и q положительны.

Группа $\mathrm{O}(p,q)$ определяется для векторных пространств над вещественными числами. Для комплексных пространств все группы $\mathrm{O}(p,q;ℂ)$ изоморфны обычной ортогональной группе $\mathrm{O}(p+q;ℂ)$, поскольку преобразование $z_j\mapsto i{z}_j$ изменяет сигнатуру формы.

В пространстве чётной размерности $n=2p$ группа $\mathrm{O}(p,p)$ известна как расщепимая ортогональная группа.

Примеры

Сжимающие отображения, здесь $r=3/2$, являются основными гиперболическими симметриями.

Основным примером является группа ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(1,1)$ (единичная компонента) линейных преобразований, сохраняющих Шаблон:Не переведено 5. Конкретно, это матрицы $\left[\begin{array}{cc}\cosh (\alpha )& \sinh (\alpha )\\ \sinh (\alpha )& \cosh (\alpha )\end{array}\right],$ которые могут интерпретироваться как гиперболические вращения, так же как группа SO(2) может интерпретироваться как круговые вращения.

В физике группа Лоренца $\mathrm{O}(1,3)$ играет важную роль, будучи основой теории электромагнетизма и специальной теории относительности.

Матричное определение

Можно определить $\mathrm{O}(p,q)$, как группу матриц, так же как для классической ортогональной группы $\mathrm{O}(n)$. Рассмотрим $(p+q)\times (p+q)$ диагональную матрицу $g$, заданную выражением:

$g=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\underset{p}{\underbrace{1,\dots ,1}},\underset{q}{\underbrace{-1,\dots ,-1}}).$

Теперь мы можем определить Шаблон:Не переведено 5 $[\cdot ,\cdot {]}_{p,q}$ на ${ℝ}^{p+q}$ формулой

$[x,y{]}_{p,q}=⟨x,gy⟩=x_1{y}_1+\cdots +x_p{y}_p-x_{p+1}{y}_{p+1}-\cdots -x_{p+q}{y}_{p+q}$,

где $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ является стандартным скалярным произведением на ${ℝ}^{p+q}$.

Мы определяем тогда $\mathrm{O}(p,q)$, как группу $(p+q)\times (p+q)$ матриц, которые сохраняют эту билинейную формуШаблон:Sfn:

$\mathrm{O}(p,q)=\{A\in M_{p+q}(ℝ)|[Ax,Ay{]}_{p,q}=[x,y{]}_{p,q}\mathrm{\forall }x,y\in {ℝ}^{p+q}\}$.

Более явно $\mathrm{O}(p,q)$ состоит из матриц $A$, таких чтоШаблон:Sfn:

$g{A}^{\mathrm{T}}g=A^{-1}$,

где $A^{\mathrm{T}}$ является транспонированной матрицей для $A$.

Получаем изоморфную группу (более того, сопряжённую подгруппу группы $\mathrm{G}\mathrm{L}(p+q)$) путём замены g любой симметричной матрицей с p положительными собственными значениями и q негативными значениями. Диагонализация этой матрицы даёт сопряжение этой группы со стандартной группой $\mathrm{O}(p,q)$.

Топология

Если и p, и q положительны, то ни $\mathrm{O}(p,q)$, ни $\mathrm{S}\mathrm{O}(p,q)$ не являются связными, так как имеют четыре и две компоненты соответственно. ${\pi }_0(\mathrm{O}(p,q))\cong {\mathrm{C}}_2\times {\mathrm{C}}_2$ является четверной группой Клейна, в которой каждый множитель либо сохраняет, либо обращает ориентации на пространствах размерности p и q, на которой форма определена. Заметим, что обращение ориентации только на одном из этих подпространств обращает ориентацию на полном пространстве. Специальная ортогональная группа имеет компоненты ${\pi }_0(\mathrm{S}\mathrm{O}(p,q))=\{(1,1),(-1,-1)\}$, которые либо сохраняют обе ориентации, либо изменяют обе ориентации, в любом случае сохраняя полную ориентацию.

Шаблон:Не переведено 5 группы $\mathrm{O}(p,q)$ часто обозначается как ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(p,q)$ и может быть отождествлена с множеством элементов в $\mathrm{S}\mathrm{O}(p,q)$, которые сохраняют ориентации. Обозначение связано с обозначением ${\mathrm{O}}^{+}(1,3)$ для ортохронной группы Лоренца, где + указывает на сохранение ориентации на первой размерности (соответствующей времени).

Группа $\mathrm{O}(p,q)$ также не компактна, но содержит компактные подгруппы $\mathrm{O}(p)$ и $\mathrm{O}(q)$, действующие на подпространствах, на которых форма определена. Фактически, $\mathrm{O}(p)\times \mathrm{O}(q)$ является максимальной компактной подгруппой группы $\mathrm{O}(p,q)$, в то время как $\mathrm{S}(\mathrm{O}(p)\times \mathrm{O}(q))$ является максимальной компактной подгруппой группы $\mathrm{S}\mathrm{O}(p,q)$. Аналогично, $\mathrm{S}\mathrm{O}(p)\times \mathrm{S}\mathrm{O}(q)$ является максимальной компактной подгруппой группы ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(p,q)$. Тогда с точностью до гомотопии пространства эти подгруппы являются произведением (специальных) ортогональных групп, из которых можно вычислить алгебраическо-топологические инварианты.

В частности, фундаментальная группа группы ${\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(p,q)$ является произведением фундаментальных групп компонент ${\pi }_1({\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(p,q))={\pi }_1(\mathrm{S}\mathrm{O}(p))\times {\pi }_1(\mathrm{S}\mathrm{O}(q))$ и задается как:

${\pi }_1({\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(p,q))$	p = 1	p = 2	$p⩾3$
q = 1	${\mathrm{C}}_1$	$\mathrm{Z}$	${\mathrm{C}}_2$
q = 2	$\mathrm{Z}$	$\mathrm{Z}\times \mathrm{Z}$	$\mathrm{Z}\times {\mathrm{C}}_2$
q ≥ 3	${\mathrm{C}}_2$	${\mathrm{C}}_2\times \mathrm{Z}$	${\mathrm{C}}_2\times {\mathrm{C}}_2$

Расщепимые ортогональные группы

В пространствах чётной размерности средние группы $\mathrm{O}(n,n)$ известны как расщепимые ортогональные группы, которые представляют особый интерес. Это Шаблон:Не переведено 5, соответствующая комплексной алгебре Ли so_2n (группа Ли Шаблон:Не переведено 5 алгебры Ли). Точнее, единичная компонента является расщеплением группы Ли, так как неединичные компоненты не могут быть восстановлены из алгебры Ли. В этом смысле это противоположно определению ортогональной группы $\mathrm{O}(n):=\mathrm{O}(n,0)=\mathrm{O}(0,n)$, которая является Шаблон:Не переведено 5 комплексной алгебры Ли.

Случай Шаблон:Nowrap соответствует мультипликативной группе расщепляемых комплексных чисел.

В терминах группы лиева типа, то есть построения алгебраической группы из алгебры Ли, расщепимые ортогональные группы — это группы Шевалле, в то время как нерасщепимые ортогональные группы являются слегка более сложными конструкциями и являются группами Штейнберга.

Расщепимые ортогональные группы используются для построения Шаблон:Не переведено 5 над неалгебраически замкнутыми полями.

См. также

• Ортогональная группа
• Группа Лоренца
• Группа Пуанкаре
• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга — см. страницу 372 для описания неопределённой ортогональной группы
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга