Ортогональная группа

Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований $n$ -мерного векторного пространства $V$ над полем $k$ , сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму $Q$ на $V$ (то есть таких линейных преобразований $φ$ , что $Q (φ (v)) = Q (v)$ для любого $v \in V$ )Шаблон:Sfn.

Обозначения и связанные определения

Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно $Q$ ) преобразованиями $V$ , а также автоморфизмами формы $Q$ (точнее, автоморфизмами пространства $V$ относительно формы $Q$ )Шаблон:Sfn.
Обозначается $O_{n}$ , $O_{n} (k)$ , $O_{n} (Q)$ и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей.
Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой ( $l$ плюсов, $m$ минусов) где $n = l + m$ , обозначается $O (l, m)$ , см. напр. O(1,3).

В случае, если характеристика основного поля не равна двум, то с $Q$ связана невырожденная симметрическая билинейная форма $F$ на $V$ , определенная формулой
$F (u, v) = \frac{Q (u + v) - Q (u) - Q (v)}{2} .$

Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства

V

, которые сохраняют

F

, и обозначается через

O_{n} (k, F)

или (когда ясно о каком поле

k

и форме

F

идёт речь) просто через

O_{n}

Если $B$ — матрица формы $F$ в неком базисе пространства $V$ , то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц $A$ с коэффициентами в $k$ , что $A^{T} B A = B$ Шаблон:Sfn.

В частности, если базис таков, что

Q

является суммой квадратов координат (то есть, матрица

B

единична), то такие матрицы

A

Над полем вещественных чисел, группа On(ℝ,V) компактна тогда и только тогда, когда форма Q знакоопределена.
- В этом случае любой элемент из $O_{n} (ℝ)$ , для подходящего базиса представляется как блочно-диагональная матрица
  $[\begin{matrix} \begin{matrix} R_{1} \\ ⋱ \\ R_{k} \end{matrix} & 0 \\ 0 & \begin{matrix} \pm 1 \\ ⋱ \\ \pm 1 \end{matrix} \end{matrix}]$

где Шаблон:Math — 2х2 матрицы поворотов; теорема вращения Эйлера является частным случем этого утверждения.

Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL( $n$ ). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу $S O (n, Q)$ , обозначаемую так же, как и ортогональная группа, но с добавлением буквы «S». $S O (n, Q)$ , по построению, является также подгруппой специальной линейной группы $S L (n)$ .