Теорема вращения Эйлера

Теорема вращения Эйлера утверждает, что любое движение твёрдого тела в трёхмерном пространстве, имеющее неподвижную точку, является вращением тела вокруг некоторой оси. Таким образом, вращение может быть описано тремя координатами: двумя координатами оси вращения (например, широта и долгота) и углом поворота.

Для заданного угла $\phi$ и единичного вектора $n$ обозначим $R(\phi ,n)$ вращение в направлении вектора n против часовой стрелки на угол $\phi$. Тогда:

• $R(0,n)$ — тождественное отображение для любого $n$
• $R(\phi ,n)=R(-\phi ,-n)$
• $R(\pi +\phi ,n)=R(\pi -\phi ,-n)$

Для любого вращения существует единственный угол $\phi$, для которого $0\le \phi \le \pi$, при этом:

• $n$ определяется однозначно, если $0<\phi <\pi$;
• $n$ любое, $\phi =0$;
• $n$ определяется однозначно с точностью до знака, если $\phi =\pi$ (то есть, вращения $R(\phi ,\pm n)$ одинаковы).

Геометрия группы вращений

Представление Эйлера позволяет исследовать топологию группы вращений трёхмерного пространства (группы SO(3)). Для этого рассмотрим шар с центром в начале координат с радиусом π.

Любое вращение на угол, меньший π, задаёт единственную точку внутри шара (направление задаёт направление оси вращения, а угол задаёт расстояние от начала координат). Вращение на угол π соответствует двум противоположным точкам на поверхности сферы.

Таким образом, шар с отождествлёнными противоположными точками сферы гомеоморфен группе SO(3).

См. также

• SO(3)
• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера