Симметричный тензор

В математике и теоретической физике тензор называется симметричным по двум индексам i и j, если он не меняется при перестановке этих индексов:

$T_{ij\dots }=T_{ji\dots }$

Если тензор не меняется при перестановке любой пары своих индексов, то такой тензор называется абсолютно симметричным.

Симметризация и антисимметризация

Для любого тензора U, с компонентами $U_{ij\dots }$, можно построить симметричный и антисимметричный тензор по правилу:

$U_{(ij)\dots }=\frac{1}{2}(U_{ij\dots }+U_{ji\dots })$ (симметричная часть),

$U_{[ij]\dots }=\frac{1}{2}(U_{ij\dots }-U_{ji\dots })$ (антисимметричная часть).

Термин «часть» означает, что $U_{ij\dots }=U_{(ij)\dots }+U_{[ij]\dots }$

Для большего числа индексов тоже можно определить симметризацию:

$T_{(i_1{i}_2\dots i_r)}=\frac{1}{r!}\sum _{\sigma \in {𝔖}_r}{T}_{i_{\sigma 1}{i}_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}$,

обозначаемую также (для случая её проведения по всем индексам) символом $\mathrm{Sym}$:

$(\mathrm{Sym}T{)}_{i_1{i}_2\dots i_r}=T_{(i_1{i}_2\dots i_r)}$.

Однако, для разложения тензора ранга, большего двух, оказывается недостаточно лишь абсолютно симметричного и абсолютно антисимметричного слагаемых.

Примеры абсолютно симметричных тензоров

• Ранга 0 — скаляр (любой),
• Ранга 1 — вектор/ковектор (любой),
• Ранга 2:
  • симметричная матрица,
  • (ковариантный) — квадратичная форма.
• Произвольного ранга n — тензорная степень n любого вектора/ковектора (лишь одна из возможностей).

Последний пример показывает, что, в отличие от антисимметричного случая, пространство симметричных тензоров будет иметь положительную размерность при сколь угодно большом числе симметризуемых индексов.

Применение

Симметричные ковариантные тензоры возникают при разложении в ряд Тейлора функции, заданной на линейном пространстве — член степени n является симметричным n-линейным функционалом, то есть его «коэффициентом» является абсолютно симметричный тензор ранга n.

В квантовой механике симметричный по n индексам тензор описывает n-частичное состояние бозона. Когда состояние описывается волновой функцией, волновые функции от многих переменных математически могут рассматриваться как бесконечномерные тензоры (каждый аргумент соответствует индексу). Симметричная функция удовлетворяет уравнению $\psi (x,y)=\psi (y,x)$ и аналогично для большего числа переменных.