Ортогональная матрица

Ортогона́льная ма́трица — квадратная матрица $A$ с вещественными элементами, результат умножения которой на транспонированную матрицу $A^{T}$ равен единичной матрице^[1]:

A A^{T} = A^{T} A = E,

или, что эквивалентно, её обратная матрица (которая обязательно существует) равна транспонированной матрице:

A^{- 1} = A^{T} .

Комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица.

Ортогональная матрица с определителем $+ 1$ называется специальной ортогональной.

Свойства

Ортогональная матрица является унитарной ( $Q^{- 1} = Q^{*}$ ) и, следовательно, нормальной ( $Q^{*} Q = Q Q^{*}$ ).
Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то есть:

\sum_{i} A_{i j} A_{i k} = δ_{j k}

и

\sum_{i} A_{j i} A_{k i} = δ_{j k}

где

i \in {1, \dots, n}

,

n

— порядок матрицы, а

δ_{j k}

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Это же справедливо и для столбцов.

Определитель ортогональной матрицы равен $\pm 1$ , что следует из свойств определителей:
$1 = \det (E) = \det (A^{T} A) = \det (A^{T}) \det (A) = \det (A) \det (A) = \det (A)^{2} = 1 .$

Обратное неверно; матрица с определителем

\pm 1

может быть неортогональной. Так, матрица

(\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 / 3 \end{matrix})

неортогональна, хотя её определитель равен 1.

Множество ортогональных матриц порядка $n$ над полем $k$ образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу, которая обозначается $O_{n} (k)$ или $O (n, k)$ (если $k$ опускается, то предполагается $k = ℝ$ ).
Линейный оператор, заданный ортогональной матрицей, переводит ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.
Матрица вращения является специальной ортогональной. Матрица отражения является ортогональной.
Любая ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида

(\pm 1)

и

(\begin{matrix} \cos φ & \sin φ \\ - \sin φ & \cos φ \end{matrix}) .

$(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$ — матрица, отражающая плоскость относительно оси Х.

$(\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix})$ — матрица поворота плоскости на угол Шаблон:Math.

$(\begin{matrix} 0, 96 & - 0, 28 \\ 0, 28 & 0, 96 \end{matrix})$ — пример матрицы поворота.

$(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix})$ — пример перестановочной матрицы.

$(\begin{matrix} \cos α \cos γ - \sin α \sin β \sin γ & - \sin α \cos β & - \cos α \sin γ - \sin α \sin β \cos γ \\ \cos α \sin β \sin γ + \sin α \cos γ & \cos α \cos β & \cos α \sin β \cos γ - \sin α \sin γ \\ \cos β \sin γ & - \sin β & \cos β \cos γ \end{matrix})$ — матрица поворота, выраженная через углы Эйлера.

↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 4-е изд. — М: Наука, 1999. — стр. 158. — ISBN 5-02-015235-8.