Углы Эйлера

Углы Эйлера.

Анимация поочерёдного поворота сферы на углы Эйлера

Углы Эйлера — углы, описывающие поворот абсолютно твердого тела в трёхмерном евклидовом пространстве. Введены Леонардом Эйлером.

В сравнении с углами Эйлера кватернионы позволяют комбинировать вращения, а также избежать проблемы, связанной с невозможностью поворота вокруг оси независимо от совершённого вращения по другим осям (см. Кватернионы и вращение пространства).

Определение

Углы Эйлера определяют три поворота системы, которые позволяют привести любое положение системы к текущему. Обозначим начальную систему координат как $(x,y,z)$, конечную как $(X,Y,Z)$. Пересечение координатных плоскостей $xy$ и $XY$ называется линией узлов $N$.

• Угол $\alpha$ между осью $x$ и линией узлов — угол прецессии.
• Угол $\beta$ между осями $z$ и $Z$ — угол нутации.
• Угол $\gamma$ между линией узлов и осью $X$ — угол собственного вращения.

Повороты системы на эти углы называются прецессия, нутация и поворот на собственный угол (вращение). Такие повороты некоммутативны, и конечное положение системы зависит от порядка, в котором совершаются повороты. В случае углов Эйлера производится серия из трёх поворотов:

1. На угол $\alpha$ вокруг оси $z$. При этом ось $x$ переходит в $N$.
2. На угол $\beta$ вокруг оси $N$. При этом ось $z$ переходит в $Z$.
3. На угол $\gamma$ вокруг оси $Z$. При этом ось $N$ переходит в $X$.

Иногда такую последовательность называют 3,1,3 (или Z,X,Z), но такое обозначение может приводить к двусмысленности.

Формулы

Углы Эйлера описывают последовательную комбинацию пассивных поворотов вокруг осей вращающейся системы координат. Тогда их матрицы поворотов имеют вид$R_Z(\alpha )=\left(\begin{array}{ccc}\cos (\alpha )& -\sin (\alpha )& 0\\ \sin (\alpha )& \cos (\alpha )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),R_X(\beta )=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos (\beta )& -\sin (\beta )\\ 0& \sin (\beta )& \cos (\beta )\end{array}\right),R_Z(\gamma )=\left(\begin{array}{ccc}\cos (\gamma )& -\sin (\gamma )& 0\\ \sin (\gamma )& \cos (\gamma )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$

Последовательное выполнение этих поворотов (если оси вращаются вместе с объектом) даст матрицу

$R=R_Z(\alpha )\cdot R_X(\beta )\cdot R_Z(\gamma )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma & -\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma & \sin \alpha \sin \beta \\ \sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma & -\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma & -\cos \alpha \sin \beta \\ \sin \beta \sin \gamma & \sin \beta \cos \gamma & \cos \beta \end{array}\right).$

Произведение $R\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$, где $x,y,z$ — координаты точки до поворота, даст координаты точки в подвижной системе координат после поворота. До и после поворота координаты точки в неподвижной системе координат неизменны.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
• Крен, тангаж и рыскание — угловые движения летательного аппарата или другого транспортного средства
• Матрица поворота
• Шесть степеней свободы
• Складывание рамок

Литература

• Берёзкин Е. Н. Курс теоретической механики — 2-е изд., пер. — М.: Изд-во МГУ. 1974. — 641 с.
• Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики — 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. С. 23.
• Уиттекер Э. Аналитическая динамика С.25