Конечномерное пространство

Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.

Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов, называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов, называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.

Свойства конечномерных пространств

Всякий элемент $x$ конечномерного пространства $X$ представим единственным образом в виде

$x=a_1{e}_1+a_2{e}_2+...+a_n{e}_n,$

$a_1,a_2,...,a_n\in \mathbb{P}$ где $\mathbb{P}$ — поле (часто $ℝ$ или $ℂ$), над которым рассматривается пространство $X$, $e_1,e_2,...,e_n\in X$ — элементы базиса. Это следует из определения базиса.

Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта.

• Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов. Это свойство даёт корректность определения размерности пространства.
• Пусть $X$ — конечномерное пространство и $\{x_1,x_2,...,x_k\}$ — линейно-независимая система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до базиса.
• Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
• В любом конечномерном пространстве над полем $ℝ$ можно ввести скалярное произведение. Например, в пространстве $X$ с фиксированным базисом, размерности $n$, можно ввести скалярное произведение по правилу:
  $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X,(x_1,x_2)=\sum _{k=1}^n{a}_k\cdot b_k$, где $\{a_k\},\{b_k\}$ — компоненты векторов $x_1$ и $x_2$ соответственно.
  Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве над полем $ℝ$ можно ввести норму и метрику. Как следствие, можно получить что:
  • $X$ — рефлексивное пространство.
  • Пространство $X^{*}$, сопряжённое к некоторому конечномерному пространству $X$, конечномерно и его размерность совпадает с размерностью $X$.
  • Для любого подпространства $M\subset X$ конечномерного пространства $X$ существует подпространство $M^{\perp }\subset X$ такое, что $\mathrm{\forall }x\in M,\mathrm{\forall }y\in M^{\perp },x\perp y$ и $X$ разлагается в прямую сумму $M$ и $M^{\perp }$, $X=M\oplus M^{\perp }$.
• В евклидовом пространстве каждая слабо сходящаяся последовательность сходится сильно.
• Все нормы в конечномерном пространстве над полем $ℝ$ эквивалентны. Сходимость в евклидовом пространстве эквивалентна покоординатной сходимости.
• Каждый линейный непрерывный оператор в конечномерном пространстве можно представить в виде матрицы.
• Пространство $X$ над полем $ℝ$ является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный оператор $I:X\to X$ является вполне непрерывным.
• Пространство $X$ является конечномерным тогда и только тогда, когда найдется действующий над $X$ обратимый вполне непрерывный оператор.
• Пространство $X$ является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный шар в $X$ предкомпактен. Это свойство можно переформулировать следующим образом: пространство $X$ является конечномерным тогда и только тогда, когда любое ограниченное в $X$ множество предкомпактно.
• Всякий линейный оператор $A:X\to Y$, определённый в конечномерном пространстве $X$ является непрерывным и даже вполне непрерывным.
• В конечномерном пространстве, каждый оператор является унитарным тогда и только тогда, когда он изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение.

Примеры

• Евклидово пространство ${𝔼}^3$ имеет размерность 3, за его базис можно выбрать тройку векторов

$\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\}$

Более общий случай — пространства ${ℝ}^n$ размерности n. Норму в них обычно задают одним из следующих способов ($1\le p<\mathrm{\infty }$):

$\Vert x{\Vert }_p=\sqrt[p]{\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p}$ или $\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{i=1,2,\dots ,n}{\max }|x_i|.$

Если ввести норму $\Vert x{\Vert }_2$ и скалярное произведение $(x,y)=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i,$ то пространство будет евклидовым.

• $P^n$ — пространство всех многочленов степени не выше $n$. Размерность этого пространства $n+1$. Многочлены $1,x,x^2,...,x^n$ образуют в нём базис.
• Пусть $X$ — произвольное линейное пространство и пусть $\{x_1,x_2,...,x_n\}$ некоторая линейно-независимая система векторов. Тогда линейная оболочка, натянутая на эту систему есть конечномерное пространство.

См. также

• Бесконечномерное пространство

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга