Рефлексивное пространство

Рефлексивное пространство — банахово пространство (в более общем случае локально выпуклое пространство) $X$, совпадающее при каноническом вложении со своим вторым сопряженным $X^{**}$.

Рефлексивные банаховы пространства

Пусть $X$ — банахово пространство над полем $ℂ$ комплексных чисел, а $X^{*}$ — пространство, сопряженное к $X$, то есть совокупность всех непрерывных линейных функционалов $f:X\to ℂ$ с нормой

$||f||=\underset{||x||\le 1}{\sup }|f(x)|$.

Второе сопряженное пространство $X^{**}$ определяется как пространство, сопряженное к $X^{*}$. При фиксированном $x\in X$ отображение $f\in X^{*}\mapsto f(x)\in ℂ$ является линейным непрерывным функционалом на $X^{*}$, то есть элементом пространства $X^{**}$. Поэтому определено отображение $J_X:X\to X^{**}$, $J_X(x)(f)=f(x)$, $x\in X$, $f\in X^{*}$. Если оно является изоморфизмом банаховых пространств, то банахово пространство $X$ называется рефлексивным. Достаточным условием для этого является сюръективность отображения $J_X:X\to X^{**}$, то есть условие $J_X(X)=X^{**}$.

Примеры

• Пространства ${\ell }_p$ и $L_p(a,b)$, $1<p<\mathrm{\infty }$, рефлексивны,
• Пространства $C[a,b]$, $L_1[a,b],L_{\mathrm{\infty }}[a,b]$ не рефлексивны.

Свойства

• Пространство $X$ рефлексивно тогда и только тогда, когда $X^{*}$ рефлексивно.
• Пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар этого пространства слабо компактен.
• Рефлексивное пространство слабо полно. Обратное неверно, существуют слабо полные нерефлексивные пространства, например $L_1$.
• Замкнутое подпространство рефлексивного пространства рефлексивно.

Рефлексивные локально выпуклые пространства

Понятие рефлексивности естественным образом распространяется на локально выпуклые пространства.

Для всякого локально выпуклого пространства $X$ обозначим через $X^{*}$ пространство линейных непрерывных функционалов на $X$, наделенное сильной топологией $\beta (X^{\prime },X)$, то есть топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в $X$. Пространство $X^{*}$ называется сопряженным пространством к пространству $X$. Как и в банаховом случае второе сопряженное пространство $X^{**}$ определяется как пространство, сопряженное к $X^{*}$. Формула $J_X(x)(f)=f(x)$, $x\in X$, $f\in X^{*}$ определяет естественное отображение пространства $X$ во второе сопряженное пространство $X^{**}$.

Если отображение $J_X:X\to X^{**}$ является изоморфизмом локально выпуклых пространств, то пространство $X$ называется рефлексивным локально выпуклым пространством.

Примеры:

• В частном случае, когда пространство $X$ банахово, его рефлексивность как банахова пространства эквивалентна его рефлексивности как локально выпуклого пространства.
• Пространство ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M)$ гладких функций на гладком многообразии $M$ рефлексивно.
• Пространство $𝒪(M)$ голоморфных функций на комплексном аналитическом многообразии $M$ рефлексивно.

Стереотипные пространства и другие обобщения рефлексивности

Среди всех локально выпуклых пространств (даже среди всех банаховых пространств) используемых в функциональном анализе класс рефлексивных пространств слишком узок, чтобы образовывать самодостаточную категорию в каком-нибудь смысле. Отражаемая этим понятием идея двойственности, однако, рождает интуитивные ожидания, что подходящие изменения в определении рефлексивности могут привести к другому понятию, более удобному для внутренних целей математики. Одной из таких целей может считаться идея приближения анализа к другим частям математики, таким как алгебра и геометрия путём переформулировки результатов анализа на чисто алгебраическом языке теории категорий.

Эта программа разрабатывается в теории стереотипных пространств, определяемых как локально выпуклые пространства удовлетворяющие похожему условию рефлексивности, однако с топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах (вместо ограниченных множеств) в определении пространства $X^{*}$. По контрасту с классическими рефлексивными пространствами класс Ste стереотипных пространств весьма широк (он содержит, в частности, все пространства Фреше и поэтому все банаховы пространства), он образует замкнутую моноидальную категорию, и он допускает стандартные операции (определенные внутри Ste) построения новых пространств, такие как взятие замкнутого подпространства, отделимого факторпространства, проективные и инъективные пределы, пространства операторов, тензорные произведения, и т. д. Категория Ste имеет приложения в теории двойственности некоммутативных групп.

Аналогично можно заменять класс ограниченных (и вполне ограниченных) подмножеств в $X$ в определении сопряженного пространства $X^{*}$ другими классами подмножеств, например, классом компактных подмножеств в$X$ — пространства определенные соответствующим условием рефлексивности называются рефлективными, и они образуют даже более широкий класс чем Ste, однако неизвестно (2012), образует ли этот класс категорию со свойствами, близкими к свойствам Ste.

Литература

• Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.
• Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, ч. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1982;
• Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967;
• Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, I изд., М., 1977.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга