Унитарный оператор

Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор $U : H \to H$ на гильбертовом пространстве $H$ , который удовлетворяет соотношению:

U^{*} U = U U^{*} = I

,

где $U^{*}$ — эрмитово сопряжённый к $U$ оператор, и $I : H \to H$ — единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

$U$ сохраняет скалярное произведение $⟨, ⟩$ гильбертового пространства, то есть для всех векторов $x$ и $y$ в гильбертовом пространстве $⟨ U x, U y ⟩ = ⟨ x, y ⟩$ и
$U$ — сюръективный оператор.

Это также эквивалентно, казалось бы, более слабому условию:

$U$ сохраняет скалярное произведение и
образ $U$ — плотное множество.

( $U$ изометричен, а поэтому является ограниченным линейным оператором — это следует из того, что $U$ сохраняет скалярное произведение; образ $U$ — плотное множество, таким образом $U^{- 1}$ = $U^{*}$ .)

Унитарный элемент — обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре элемент $U$ алгебры называется унитарным элементом, если:

U^{*} U = U U^{*} = I

,

где $I$ — единичный элемент^[1].

Свойства унитарных преобразований:

оператор унитарного преобразования всегда обратим
если оператор $\hat{H}$ эрмитов, то оператор $\hat{U} = \exp (i \hat{H})$ унитарен.

Спектр унитарного оператора $U$ лежит на единичной окружности. Это можно увидеть из спектральной теоремы для нормального оператора. По этой теореме, $U$ унитарно эквивалентно умножению на измеримую по Борелю функцию $f$ на $L^{2} (μ)$ , для некоторого пространства с мерой $(X, μ)$ . Из $U U^{*} = I$ следует $| f (x) |^{2} = 1$ .

Тождественный оператор — тривиальный пример унитарного оператора. Вращения в $ℝ^{2}$ — простейший нетривиальный пример унитарного оператора. Вращения не изменяют длины векторов и угол между двумя векторами. Этот пример также может быть обобщён на $ℝ^{3}$ . В векторном пространстве $ℂ$ комплексных чисел умножение на число с модулем $1$ , то есть число вида $e^{i θ}$ для $θ \in ℝ$ , является унитарным оператором. $θ$ называется фазой. Можно заметить, что значение $θ$ , кратное $2 π$ , не влияет на результат, поэтому множество независимых унитарных операторов в $ℂ$ топологически эквивалентно окружности.

В физике

В квантовой механике состояние квантовой системы описывается вектором в гильбертовом пространстве. Норма вектора состояния изолированной квантовой системы описывает вероятность найти систему хоть в каком-либо состоянии, а значит, она обязана равняться единице. Соответственно, эволюция квантовой системы во времени — это некоторый оператор, зависящий от времени, и, из-за требования сохранения нормы, он является унитарным. Неунитарные операторы эволюции (или, что то же самое, неэрмитовые гамильтонианы) для изолированной квантовой системы в квантовой механике запрещены.