Спектральная теорема

Спектральная теорема — класс теорем о матрицах линейных операторов, дающих условия, при которых такие матрицы могут быть диагонализированы, то есть представлены в виде диагональной матрицы в некотором базисе. Эти теоремы позволяют свести вычисления, включающие диагонализируемые матрицы к гораздо более простым вычислениям, использующим соответствующие диагональные матрицы.

Понятие диагонализации, достаточно простое для случая конечномерных векторных пространств, требует некоторых уточнений при переходе к бесконечномерным векторным пространствам. Вообще говоря, спектральная теорема выделяет класс линейных операторов, которые могут моделироваться так называемыми Шаблон:Iw — то есть операторами вида $\varphi \mapsto f\varphi$ для фиксированной функции $f$. Более абстрактно, спектральная теорема является утверждением о коммутативных $C^{*}$-алгебрах.

Примерами операторов, к которым может быть применена спектральная теорема являются самосопряжённые операторы или, более общо, — нормальные операторы в гильбертовых пространствах.

Спектральная теорема также даёт каноническое разложение объемлющего векторного пространства, называемое спектральным разложением или разложением по собственным значениям.

Конечномерный случай

Спектральная теорема для Эрмитовых матриц

Шаблон:Начало скрытого блока Лемма 1: для любых векторов $𝐲\in V$ и $𝐳\in V$ верно:

$(A𝐲,𝐳)=(𝐲,A𝐳)$

Доказательство леммы 1:

По определению:

$A=A^{*}$

Следовательно:

$(A𝐲,𝐳)=(Ay{)}^{*}z=y^{*}Az=(y,Az)$

Доказательство утверждения 1. Докажем, что все собственные значения матрицы $A$ вещественны.

Рассмотрим $\lambda$ - собственное значение матрицы $A$.

Тогда, по определению собственного значения, существует вектор $(𝐱\in V)\ne 0$, для которого $A𝐱=\lambda 𝐱$.

Скалярно умножим обе части этого равенства на $𝐱$:

$(A𝐱,𝐱)=(\lambda 𝐱,𝐱)$

По определению скалярного произведения:

$(\lambda 𝐱,𝐱)=\overline{(𝐱,\lambda 𝐱)}=\bar{\lambda }(𝐱,𝐱)(1)$

С другой стороны, применяя лемму 1 к $𝐲=𝐳=𝐱$, получаем:

$(A𝐱,𝐱)=(𝐱,A𝐱)=(𝐱,\lambda 𝐱)=\lambda (𝐱,𝐱)(2)$

Из равенств $(1)$ и $(2)$ следует:

$\bar{\lambda }(𝐱,𝐱)=\lambda (𝐱,𝐱)$

Поскольку для любого $(𝐱\in V)\ne 0$ верно $(𝐱,𝐱)\ne 0$, то:

$\bar{\lambda }=\lambda$

что означает $\lambda \in ℝ$.

Доказательство утверждения 2. Докажем, что собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Рассмотрим два различных собственных значения $\lambda \ne \mu$. Тогда:

$A𝐱=\lambda 𝐱,A𝐲=\mu 𝐲$

где $𝐱$ и $𝐲$ - собственные вектора.

Умножим первое равенство на $𝐲$, а также применим лемму 1 и доказанный выше факт, что собственные значения вещественны, $\lambda \in ℝ$. В результате получим:

$\lambda (𝐱,𝐲)=(\lambda 𝐱,𝐲)=(A𝐱,𝐲)=(𝐱,A𝐲)=(𝐱,\mu 𝐲)=\mu (𝐱,𝐲)$

Исходя из $\lambda \ne \mu$ получаем, что $(𝐱,𝐲)=0$, то есть иными словами - вектора $𝐱$ и $𝐲$ ортогональны.

Доказательство утверждения 3. Докажем что собственные вектора образуют базис для всего пространства $V$

Пусть ${\lambda }_1$, собственное значение матрицы $A$, и соответствующий ему собственный вектор ${𝐱}_{\mathrm{𝟏}}$.

Рассмотрим $V_1$ - множество всех векторов из $V$, ортогональных ${𝐱}_{\mathrm{𝟏}}$.

Поскольку для любого $𝐱\in V_1$ верно что $({𝐱}_{\mathrm{𝟏}},𝐱)=0$, то согласно лемме 1:

$({𝐱}_{\mathrm{𝟏}},A𝐱)=(A{𝐱}_{\mathrm{𝟏}},𝐱)={\lambda }_1({𝐱}_{\mathrm{𝟏}},𝐱)=0$

Следовательно, $𝐀𝐱\in V_1$.

Линейный оператор $L(𝐱)=Ax$, будучи ограниченным множеством $V_1$, также является эрмитовым, имеет собственное значение ${\lambda }_2$ и соответствующий собственный вектор ${𝐱}_{\mathrm{𝟐}}$.

По определению ${𝐱}_2$ ортогонален ${𝐱}_1$.

Рассмотрим множество $V_2$ - множество векторов, ортогональных одновременно ${𝐱}_1$ и ${𝐱}_2$. Аналогичным образом линейный оператор $L(𝐱)=Ax$ отображает $V_2$ на себя.

Продолжая подобным образом мы можем найти последовательность ${\lambda }_k$, ${𝐱}_k$, а также подпространства $V_k$, содержащие ${𝐱}_k$ и при этом ортогональные векторам ${𝐱}_1,...,{𝐱}_{k-1}$. Последовательность завершится на шаге $n$, поскольку $\dim V_k=n-k$.

Таким образом собственные вектора ${𝐱}_1,...,{𝐱}_n$ образуют ортогональный базис для всего пространства $V$

Спектральная теорема для унитарных матриц

Лемма 2: Для унитарной матрицы $U$ верно:

$(U𝐱,U𝐲)=(𝐱,𝐲)$

где $𝐱$ и $𝐲$ - произвольные вектора из $V$

Доказательство леммы 2:

$(U𝐱,U𝐲)=(U𝐱{)}^{*}U𝐲=x^{*}{U}^{*}Uy=x^{*}y=(x,y)$

Доказательство утверждения 1: Все собственные значения матрицы $A$ имеют абсолютные величины, равные $1$.

Рассмотрим $\lambda$ - собственное значение матрицы $A$.

Тогда, по определению собственного значения, существует вектор $(𝐱\in V)\ne 0$, для которого:

$A𝐱=\lambda 𝐱$.

Применяя лемму 2 получаем:

$(𝐱,𝐱)=(A𝐱,A𝐱)=\bar{\lambda }\lambda (𝐱,𝐱)$

Поскольку $𝐱\ne 0$, то $(𝐱,𝐱)\ne 0$, а следовательно:

$\bar{\lambda }\lambda =|\lambda {|}^2=1$

Доказательство утверждения 2: Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Рассмотрим два различных собственных значения $\lambda \ne \mu$. Тогда:

$A𝐱=\lambda 𝐱,A𝐲=\mu 𝐲$

где $𝐱$ и $𝐲$ - собственные вектора.

Перемножим эти два уравнения:

$(𝐱,𝐲)=(A𝐱,A𝐲)=\bar{\lambda }\mu (𝐱,𝐲)$

Как было показано выше, $|\lambda |=1$. Следовательно $\bar{\lambda }={\lambda }^{-1}$, откуда:

$(𝐱,𝐲)=\mu {\lambda }^{-1}(𝐱,𝐲)$

Поскольку выше было сделано предположение, что $\lambda \ne \mu$, то получаем:

$(𝐱,𝐲)=0$

То есть вектора $𝐱$ и $𝐲$ ортогональны.

Доказательство утверждения 3: Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства $V$.

Пусть ${\lambda }_1$, собственное значение матрицы $A$, и соответствующий ему собственный вектор ${𝐱}_{\mathrm{𝟏}}$.

Рассмотрим $V_1$ - множество всех векторов из $V$, ортогональных ${𝐱}_{\mathrm{𝟏}}$.

Докажем, что для любого вектора $𝐱\in V_1$ верно $A𝐱\in V_1$.

Из леммы 2 следует, что $A^{*}=A^{-1}$. Используя этот факт, получаем:

$(A𝐱,{𝐱}_1)=(x,A^{*}{𝐱}_1)=(x,A^{-1}{𝐱}_1)={\lambda }^{-1}({𝐱}_{\mathrm{𝟏}},𝐱)=0$

Таким образом $V_1$ является собственным подпространством размерности $\dim V-1$ пространства $V$.

Поскольку линейный оператор $L(𝐱)=Ax$, будучи ограниченным множеством $V_1$, также является эрмитовым, имеет собственное значение ${\lambda }_2$ и соответствующий собственный вектор ${𝐱}_{\mathrm{𝟐}}$.

Продолжая подобным образом мы можем найти последовательность ${\lambda }_k$, ${𝐱}_k$, а также подпространства $V_k$, содержащие ${𝐱}_k$ и при этом ортогональные векторам ${𝐱}_1,...,{𝐱}_{k-1}$. Последовательность завершится на шаге $n$, поскольку $\dim V_k=n-k$.

Таким образом собственные вектора ${𝐱}_1,...,{𝐱}_n$ образуют ортогональный базис для всего пространства $V$

Нормальные матрицы

Спектральная теорема может быть распространена на несколько более широкий класс матриц. Пусть $A$ является оператором на конечномерном пространстве со скалярным произведением. $A$ называют нормальным, если $A{A}^{*}=A^{*}A$. Можно доказать, что $A$ является нормальным тогда и только тогда, когда он является унитарно диагонализируемым. В самом деле, в соответствии с разложением Шура мы имеем $A=UT{U}^{*}$, где $U$ является унитарным оператором, а $T$ — верхнетреугольным. Поскольку $A$ является нормальным, то $T{T}^{*}=T^{*}T$. Следовательно, $T$ является диагональным. Обратное не менее очевидно.

Другими словами, $A$ является нормальным тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица $U$ такая, что $A=U\mathrm{\Lambda }{U}^{*}$, где $\mathrm{\Lambda }$ является диагональной матрицей. При этом диагональные элементы матрицы Λ являются собственными значениями $A,$ а векторы-столбцы матрицы $U$ являются собственными векторами $A$ (они, конечно, имеют единичную длину и попарно ортогональны). В отличие от эрмитова случая элементы матрицы $\mathrm{\Lambda }$ не обязательно вещественны.

Спектральная теорема для компактных самосопряжённых операторов

В бесконечномерных гильбертовых пространствах утверждение спектральной теоремы для компактных самосопряжённых операторов выглядит в сущности также как в конечномерном случае.

Шаблон:Рамка Теорема
Пусть $A$ является компактным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве $V$. Существует ортонормированный базис пространства $V$, состоящий из собственных векторов оператора $A$. При этом все собственные значения вещественны. Шаблон:Конец рамки

Так же как и в случае эрмитовых матриц ключевым моментом является доказательство существования хоть одного собственного вектора. В бесконечномерном случае невозможно использовать определители для доказательства существования собственных векторов, но можно использовать соображения максимизации, аналогичные вариационной характеризации собственных значений. Приведённая выше спектральная теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных гильбертовых пространств.

Без предположения о компактности становится неверным утверждение о том, что всякий самосопряжённый оператор имеет собственный вектор.

Спектральная теорема для ограниченных самосопряжённых операторов

Следующее обобщение, которое мы рассмотрим, касается ограниченных самосопряжённых операторов в гильбертовых пространствах. Такие операторы могут не иметь собственных значений (например, таков оператор $A$ умножения на независимую переменную в пространстве $L^2[0,1]$, то есть $\left[A\varphi \right](t)=t\varphi (t)$.

Шаблон:Рамка Теорема
Пусть $A$ является ограниченным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве $H$. Тогда существует пространство с мерой $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$, вещественнозначная измеримая функция $f$ на $X$ и унитарный оператор $U:H\to L_{\mu }^2(X)$ такие, что $U^{*}TU=A$, где $T$ является Шаблон:Iw, то есть $\left[T\varphi \right](x)=f(x)\varphi (x)$. Шаблон:Конец рамки

С этой теоремы начинается обширная область исследований по функциональному анализу, называемая теорией операторов.

Аналогичная спектральная теорема справедлива для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница состоит в том, что теперь $f$ может быть комплекснозначной.

Альтернативная формулировка спектральной теоремы позволяет записать оператор $A$ как интеграл, взятый по спектру оператора, от координатной функции по Шаблон:Iw. В случае когда рассматриваемый нормальный оператор является компактным, эта версия спектральной теоремы сводится к приведённой выше конечномерной спектральной теореме (с той оговоркой, что теперь линейная комбинация может содержать бесконечно много проекторов).

Спектральная теорема для общих самосопряжённых операторов

Многие важные линейные операторы, возникающие в математическом анализе, не являются ограниченными. Например, таковы дифференциальные операторы. Имеется спектральная теорема для самосопряжённых операторов, которая работает для неограниченных операторов. Например, любой дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами унитарно эквивалентен оператору умножения (соответствующим унитарным оператором является преобразование Фурье, а соответствующий оператор умножения называют Шаблон:Iw).

Литература

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer Verlag, 1997
• А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани, Теоремы и задачи функционального анализа, М.: Наука, 1979
• Paul Halmos, «What Does the Spectral Theorem Say?», American Mathematical Monthly, 70, no. 3 (1963), 241—247