C*-алгебра

$C^{\ast }$-алгебра — банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряжённого оператора.

Впервые были рассмотрены для применения в квантовой механике в качестве алгебр физически наблюдаемых объектов. Это направление исследований началось с матричной квантовой механики Вернера Гейзенберга и в более математически развитой форме с работ Паскуаля Йордана около 1933 года. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру этих алгебр, создав серию работ о кольцах операторов. В этих работах рассматривался особый класс $C^{\ast }$-алгебр, впоследствии ставший известным как алгебры фон Неймана. В 1943 году Израиль Гельфанд и Марк Наймарк, используя понятие вполне регулярных колец, дали общее определение $C^{\ast }$-алгебр, с того момента $C^{\ast }$-алгебры нашли широкое применение в алгебраических формулировках квантовой механики. Другой активной областью исследований стала классификация или определение степени возможной классификации для сепарабельных простых ядерных $C^{\ast }$-алгебр.

Частным случаем $C^{\ast }$-алгебры является комплексная алгебра над полем $A$ линейных непрерывных операторов на комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами:

• $A$ является топологически замкнутым множеством в топологии операторной нормы,
• $A$ замкнуто относительно операции взятия сопряжений операторов.

Другой важный класс негильбертовых $C^{\ast }$-алгебр составляют алгебры непрерывных функций $C_0(X)$ на пространстве $X$.

Определения

Согласно определению, данному Гельфандом и Наймарком$C^{\ast }$-алгеброй называют, $C^{\ast }$-алгебра определяется как банахова алгебра $A$ над полем комплексных чисел, для каждого элемента которой $x\in A$ которой определено отображение $x\mapsto x^{\ast }$ со следующими свойствами:

• инволютивность: $x^{\ast \ast }=(x^{\ast }{)}^{\ast }=x$,
• согласованность со сложением: $(x+y{)}^{\ast }=x^{\ast }+y^{\ast }$,
• согласованность с умножением: $(xy{)}^{\ast }=y^{\ast }{x}^{\ast }$,
• для всякого $\lambda \in ℂ$ выполнено $(\lambda x{)}^{\ast }=\bar{\lambda }{x}^{\ast }$,
• выполнено так называемое $C^{\ast }$-тождество: $\Vert x^{\ast }x\Vert =\Vert x\Vert \Vert x^{\ast }\Vert$

Все эти свойства без $C^{\ast }$-тожества определяют ${}^{\ast }$-алгебру (то есть $C^{\ast }$-алгебра — это ${}^{\ast }$-алгебра с $C^{\ast }$-тождеством). $C^{\ast }$-тождество эквивалентно формуле:

$\Vert x{x}^{\ast }\Vert =\Vert x{\Vert }^2$.

$C^{\ast }$-тождество является весьма сильным требованием, например, вместе с формулой спектрального радиуса из него следует, что $C^{\ast }$-норма однозначно определяется алгебраической структурой:

$\Vert x{\Vert }^2=\Vert x^{\ast }x\Vert =\sup \{|\lambda |:x^{\ast }x-\lambda 1\text{— необратим}\}$.

Ограниченный оператор $\pi :A\to B$ между $C^{\ast }$-алгебрами $A$ и $B$ называется ${}^{\ast }$-гомоморфизмом, если для всех $x$ и $y$ из $A$ выполняется:

$\pi (xy)=\pi (x)\pi (y)$

и для всех $x$ из $A$ выполняется:

$\pi (x^{\ast })=\pi (x{)}^{\ast }$.

В случае $C^{\ast }$-алгебр, любой ${}^{\ast }$-гомоморфизм $\pi$ между $C^{\ast }$-алгебрами является сжимающим, то есть ограниченным нормой $⩽1$. Кроме того, инъективный ${}^{\ast }$-гомоморфизм между $C^{\ast }$-алгебрами является изометрическим. Эти свойства являются следствиями $C^{\ast }$-тождества.

Биективный ${}^{\ast }$-гомоморфизм $\pi$ называется $C^{\ast }$-изоморфизмом, и в этом случае $A$ и $B$ называются изоморфными.

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation