Инволюция (математика)

Инволюция

Инволю́ция (от Шаблон:Lang-la — свёртывание, завиток) — преобразование, которое является обратным самому себе. Часто дополнительно предполагается, что инволюция — это нетождественное отображение.

Определение

Функция $f:X\to X$ называется инволюцией, если $f(f(x))=x$ для всякого $x\in X$.

Свойства

• Любая инволюция — это биекция.

• Композиция $f\circ g$ двух инволюций $f$ и $g$ является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют: $f\circ g=g\circ f$.

Примеры

• $f(x)=-x$, заданная на множестве целых $\mathbb{Z}$, рациональных $\mathbb{Q}$ или вещественных чисел $ℝ$;
• простейшие инволюции на множестве вещественных чисел $ℝ$:

  $\frac{a}{x}$, $a-x$, $\frac{x}{x-1}$, $\frac{x+1}{x-1}$, $\frac{x-1}{x+1}$, $\frac{ax+b}{cx-a}$;

• $f(x)=\overline{x}$ — дополнение множества, заданная для подмножеств некоторого универсального множества $U$;
• $f(x)=\mathrm{\neg }x$ — логическое отрицание булевой алгебры;
• Среди движений плоскости есть два типа нетривиальных инволюций: центральная и зеркальная симметрии.
  • Таким образом инволюции соответствуют прямым и точкам — основным объектам планиметрии. На этом наблюдении основана аксиоматика Бахмана.
• инверсия;
• комплексное сопряжение;
• преобразование Лежандра
• Перестановка $\tau$ является инволюцией, если $\tau \circ \tau =id$, каждая инволюция является произведением непересекающихся транспозиций, например:

  $\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 5& 7& 4& 3& 1& 8& 2& 6\end{array}\right)=(1,5)(2,7)(3,4)(6,8)$.

  • Число инволюций в группе перестановок порядка $n$ определяется по формулам:

    $a(0)=1,a(1)=1,a(n)=a(n-1)+(n-1)a(n-2),n>1$ (рекуррентная формула),

    $a(n)=\sum _{k=0}^{[n/2]}\frac{n!}{2^k\cdot (n-2k)!\cdot k!}$,

(первые значения $a(n)$: 1, Шаблон:Nums).