Инверсия (геометрия)

Кардиоида — инверсия параболы

Инве́рсия (от Шаблон:Lang-la «обращение») относительно окружности — преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

Определение

Инверсия

Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность $\mathrm{\Gamma }$ с центром $O$ (называемым полюсом инверсии, или центром инверсии, эта точка выколота) и радиусом $R$. Инверсия точки $P$ относительно $\mathrm{\Gamma }$ есть точка $P^{\prime }$, лежащая на луче $OP$ такая, что

$|O{P}^{\prime }|\cdot |OP|=R^2.$

Замечания

• Инверсия переводит внутреннюю область окружности во внешнюю и обратно.
• Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку» $\mathrm{\infty }$ и считают её инверсным образом $O$, а $O$ — инверсным образом $\mathrm{\infty }$. В этом случае инверсия является биективным преобразованием этой расширенной «круговой плоскости».
• Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы и инверсия в евклидовых пространствах более высоких размерностей.

Свойства

Образ центра окружности не является центром образа

Инверсия относительно окружности $\mathrm{\Gamma }$ с центром O обладает следующими основными свойствами:

• Инверсия является инволюцией: если точка P переходит в точку Q, то и точка Q переходит в точку P.
• Прямая, проходящая через O, переходит в себя.
• Прямая, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O с выколотой точкой O; и обратно, окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O.
• Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O (при этом образ её центра не является центром образа).
• Инверсия является конформным отображением второго рода (т. е. она сохраняет углы между кривыми и меняет ориентацию).

$d_1/d_2=\text{const}$

• Инверсия относительно окружности Аполлония, определяемой равенством $k=\frac{PA}{PB}$, меняет местами точки $A$ и $B$.
• Окружность или прямая, перпендикулярная к $\mathrm{\Gamma }$, переходит в себя.
• Для того, чтобы точки $z$ и $z*$ были симметричными относительно окружности $\mathrm{\Gamma }$, необходимо и достаточно, чтобы любая окружность на расширенной комплексной плоскости, через них проходящая, была ортогональна $\mathrm{\Gamma }$

• Имеет место схема преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой, показанная на рисунке справа, из которой вытекает следующее два утвержденияШаблон:Sfn:
  • инверсия кривой есть антиподера этой кривой с последующим полярным преобразованием кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом антиподеры;
  • инверсия кривой есть подера полярного преобразования этой кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом подеры.

Замечания

• В теории окружностей и инверсии две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными (перпендикулярными). Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведёнными в точке их пересечения.
• В теории окружностей и инверсии прямая перпендикулярна к окружности $\mathrm{\Gamma }$, если она проходит через центр последней.

Построение

Построение образа точки при инверсии относительно окружности

Получить образ P' точки P при инверсии относительно данной окружности с центром O можно следующим образом:

• Если расстояние от P до O больше радиуса окружности — провести из P касательную к окружности, тогда перпендикуляр к прямой OP из точки касания пересечёт эту прямую в искомой точке P'.
• Если расстояние от P до O меньше радиуса окружности — провести через P перпендикуляр к OP, а через точку его пересечения с окружностью — касательную к ней, которая пересечёт OP в искомой точке P'.
• Если расстояние от P до O равно радиусу окружности, образ P совпадёт с ней самой.

Координатные представления

Декартовы координаты

Инверсия относительно единичной окружности с центром в начале координат задаётся соотношением

$(x,y)\mapsto (\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2})$.

Если точку плоскости задать одной комплексной координатой $z=x+iy$, то это выражение можно представить в виде

$z\mapsto (\overline{z}{)}^{-1}$,

где $\overline{z}$ — комплексно сопряжённое число для $z$. Данная функция комплексного переменного является антиголоморфной, откуда, в частности, следует конформность инверсии.

В общем случае инверсия относительно окружности с центром в точке $O=(x_0,y_0)$ и радиусом $r$ задаётся соотношением

$(x,y)\mapsto (x_0+\frac{r^2(x-x_0)}{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2},y_0+\frac{r^2(y-y_0)}{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2})$.

Полярные координаты

Инверсия относительно окружности радиуса $r$ с центром в начале координат задаётся соотношением

$(\varphi ,\rho )\mapsto (\varphi ,r^2/\rho )$.

Приложения

• Применением инверсии решаются
  • задача Аполлония,
  • тождество Птолемея.
• На свойствах инверсии основан механизм Липкина — Посселье.
• Применением инверсии доказывается теорема Мора — Маскерони, которая утверждает, что все построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки, можно сделать с помощью одного циркуля (прямая считается построенной, если известны две её точки)Шаблон:SfnШаблон:Sfn
• Существует доказательство свойств окружности Аполлония, основанное на свойстве инверсии.
• При помощи инверсии доказывается поризм Штейнера: в доказательстве используется тот факт, что для любых непересекающихся окружностей существует инверсия, превращающая их в концентрические.
• При помощи инверсии доказывается то, что равны две архимедовы окружности-близнецы в арбелосе.Шаблон:Sfn
• При помощи инверсии доказываются свойства окружностей в поризме Паппа Александрийского.Шаблон:Sfn
• При помощи инверсии доказывается Теорема о бабочке.Шаблон:Sfn

Вариации и обобщения

Инверсия относительно конического сечения

Можно определить инверсию относительно произвольного невырожденного конического сечения, с той лишь разницей, что величина $R$ будет (переменным) расстоянием от центра $O$ соответствующей кривой (в случае эллипса и гиперболы) до точек пересечения этой кривой с прямой $OP$.

В случае инверсии относительно гиперболы, в зависимости от сектора, в котором находится точка $P$ между асимптотами, возможен случай, когда прямая $OP$ не пересекается с гиперболой. Тогда для вычисления $R$ берётся точка пересечения этой прямой с сопряжённой гиперболой (если только точка $P$ не лежит на асимптоте), а соответствующая величина $R^2$ берётся со знаком минус, то есть луч $O{P}^{\prime }$ направляется в сторону, противоположную лучу $OP$.

Инверсия относительно параболы — это просто симметричное отражение относительно неё вдоль прямой, параллельной оси параболы.

Альтернативное определение — инверсия относительно конического сечения $𝒦$ как середина хорды, высекаемой полярой точки $P$ относительно $𝒦$ на $𝒦$. Однако в случае, когда соответствующая поляра не пересекает $𝒦$, для полноты определения приходится применять это, частичное, определение в обратную сторону (то есть $P^{\prime }$ — это такая точка, что $P$ является серединой хорды, высекаемой полярой $P^{\prime }$ на $𝒦$), что не всегда удобно.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Инверсия кривой

Литература

• Шаблон:H

Ссылки

• Ануфриенко С. А. Симметрия относительно окружности.
• Бакельман И. Я. Инверсия. Популярные лекции по математике, Вып. 44, М., Наука, 1966.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга