Неравенство Птолемея

Неравенство Птолемея — неравенство на 6 расстояний между четвёркой точек на плоскости.

Названо в честь позднеэллинистического математика Клавдия Птолемея.

Формулировка

Для любых точек $A, B, C, D$ плоскости выполнено неравенство

A C \cdot B D \leq A B \cdot C D + B C \cdot A D,

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $A B C D$ — выпуклый вписанный четырёхугольник, или точки $A, B, C, D$ лежат на одной прямой.

Случай равенства также называется тождеством Птолемея.

Один из вариантов доказательства неравенства основан на применении инверсии относительно окружности с центром в точке $A$ ; этим неравенство Птолемея сводится к неравенству треугольника для образов точек $B$ , $C$ , $D$ .^[1]
Существует способ доказательства через прямую Симсона.
Теорема Птолемея может доказываться следующим способом (близким к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) — ввести точку $E$ такую, что $∠ A B E = ∠ D B C$ , а потом через подобие треугольников.
Теорема также является следствием из соотношения Бретшнайдера.

Теорема Помпею.^[2] Рассмотрим точку $X$ и правильный треугольник $A B C$ . Тогда из отрезков $X A$ , $X B$ и $X C$ можно составить треугольник, причём этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка $X$ лежит на описанной окружности треугольника $A B C$ .

Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.

Соотношение Бретшнайдера
Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если $A_{1}, A_{2}, \dots A_{6}$ произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника, а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann’s theorem)^[3]), то

A_{1} A_{4} \cdot A_{2} A_{5} \cdot A_{3} A_{6} \leq A_{1} A_{2} \cdot A_{3} A_{6} \cdot A_{4} A_{5} + A_{1} A_{2} \cdot A_{3} A_{4} \cdot A_{5} A_{6} +

+ A_{2} A_{3} \cdot A_{1} A_{4} \cdot A_{5} A_{6} + A_{2} A_{3} \cdot A_{4} A_{5} \cdot A_{1} A_{6} + A_{3} A_{4} \cdot A_{2} A_{5} \cdot A_{1} A_{6},

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда

A_{1} \dots A_{6}

— вписанный шестиугольник.

Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности $α, β, γ$ и $δ$ , касающиеся данной окружности в вершинах $A, B, C$ и $D$ выпуклого четырёхугольника $A B C D$ . Пусть $t_{α β}$ — длина общей касательной к окружностям $α$ и $β$ (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); $t_{β γ}, t_{γ δ}$ Шаблон:Nobr определяются аналогично. Тогда

t_{α β} t_{γ δ} + t_{β γ} t_{δ α} = t_{α γ} t_{β δ}

.