Вписанный четырёхугольник

Примеры вписанных четырёхугольников.

Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной. Обычно предполагается, что четырёхугольник выпуклый, но бывают и самопересекающиеся вписанные четырёхугольники. Формулы и свойства, данные ниже, верны только для выпуклых четырёхугольников.

Все треугольники имеют описанные окружности, но не все четырёхугольники. Примером четырёхугольника, который нельзя вписать в окружность, может служить ромб (если только он не является квадратом). Секция «Свойства» ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы вокруг четырёхугольника можно было описать окружность.

Специальные случаи

Любые квадраты, прямоугольники, равнобедренные трапеции или антипараллелограммы можно вписать в окружность. Дельтоид можно вписать в том и только в том случае, когда у него два угла прямые. Шаблон:Не переведено 5 — это вписанный четырёхугольник, который также является и описанным, а внешне бицентричный четырёхугольник — это вписанный четырёхугольник, который является также Шаблон:Не переведено 5.

Свойства

• Первый критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый невырожденный четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра, проведённых к каждой из сторон, пересекаются в одной точкеШаблон:Sfn.
• Второй критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ является вписанным тогда и только тогда, когда противоположные углы в сумме дают 180°, то естьШаблон:Sfn.

$A+C=B+D=180^{\circ }.$

• Другой вариант первого критерия вписанности четырёхугольника. Теорема была Предложением 22 в книге 3 Евклида НачалаШаблон:Sfn. Эквивалентно, выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда смежный угол равен противоположному внутреннему углу.
• Третий критерий вписанности четырёхугольника. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда любая пара его противоположных сторон антипараллельна.
• Четвертый критерий вписанности четырёхугольника. Другой критерий для того, чтобы выпуклый четырёхугольник $ABCD$ был вписанным, требует, чтобы угол между стороной и диагональю был равен углу между противоположной стороной и другой диагональюШаблон:Sfn. Например,

$\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }ADB.$

• Пятый критерий вписанности четырёхугольника. Неравенство Птолемея утверждает, что произведение длин двух диагоналей p и q четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон, только если четырёхугольник вписан: Шаблон:Sfn

$pq=ac+bd.$

• Шестой критерий вписанности четырёхугольника. Если две прямые, из которых одна содержит отрезок AC, а другая — отрезок BD, пересекаются в точке E, то четыре точки A, B, C, D лежат на окружности тогда и только тогда, когдаШаблон:Sfn

$AE\cdot EC=BE\cdot ED.$

Точка пересечения E может лежать как внутри, так и вне окружности. В первом случае это будет вписанный четырёхугольник ABCD, а во втором — вписанный четырёхугольник ABDC. Если пересечение лежит внутри, равенство означает, что произведение отрезков, на которые точка E делит одну диагональ, равно произведению отрезков другой диагонали. Это утверждение известно как теорема о пересекающихся хордах, поскольку диагонали вписанного четырёхугольника являются хордами описанной окружности.

• Седьмой критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый четырёхугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда Шаблон:Sfn

$\tan \frac{A}{2}\tan \frac{C}{2}=\tan \frac{B}{2}\tan \frac{D}{2}=1.$

ABCD - циклический четырехугольник, в котором E - точка пересечения диагоналей, F - точка пересечения продолжений сторон AD и BC, G - точка пересечения продолжений сторон AB и CD.(см. рис.) $\omega$ - окружность девяти точек треугольника EFG. Точка T пересечения средних линий ABCD принадлежит окружности $\omega$.

.

• Восьмой критерий вписанности четырёхугольника. Пусть $ABCD$ выпуклый четырехугольник, в котором $E$ - точка пересечения диагоналей, $F$ - точка пересечения продолжений сторон $AD$ и $BC$, $G$ - точка пересечения продолжений сторон $AB$ и $CD$. И пусть $\omega$ - окружность девяти точек треугольника $EFG$. $ABCD$ является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точка пересечения его средних линий лежит на окружности $\omega$. (см. рис.)

ABCD является циклическим четырехугольником. E - точка пересечения диагоналей, F - точка пересечения продолжений сторон BC и AD. $\omega$ - окружность, диаметр которой является отрезком EF. P и Q - точки Паскаля, сформированные с помощью окружности $\omega$.

• Девятый критерий вписанности четырёхугольника. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ пусть $E$ - точка пересечения диагоналей, $F$ - точка пересечения продолжений сторон $AD$ и $BC$, и пусть $\omega$ - окружность, диаметр которой является отрезком $EF$, формирующая точки Паскаля $P$ и $Q$ на сторонах $AB$ и $CD$.(см. рис.)

(1) $ABCD$ является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точки $P$ и $Q$ коллинеарные с центром $O$ окружности $\omega$.
(2) $ABCD$ является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точки $P$ и $Q$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$. .

• Десятый критерий вписанности четырёхугольника. Условие, при котором совмещение двух треугольников с одной равной стороной даёт четырёхугольник, вписанный в окружность. Для того, чтобы два треугольника с тройками длин сторон соответственно (a, b, f) и (c, d, f) при их совмещении вдоль общей стороны с длиной, равной f, давали в итоге четырёхугольник, вписанный в окружность с последовательностью сторон (a, b, c, d), необходимо условиеШаблон:Rp

$f^2=\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}.$

• Замечание. Последнее условие даёт выражение для диагонали f четырёхугольника, вписанного в окружность, через длины четырёх его сторон (a, b, c, d). Эта формула немедленно следует при перемножении и при приравнивании друг другу левых и правых частей формул, выражающих суть первой и второй теорем Птолемея.

Теорема Микеля-Штейнера для четырёхстронника

• Одиннадцатый критерий вписанности четырёхугольника. Выпуклый четырёхугольник (см. рис. справа), образованный четырьмя данными прямыми Микеля, вписан в окружность тогда и только тогда, когда точка Микеля M четырёхугольника лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника). То есть, когда M лежит на EF (см. рис. справа).

Площадь

Площадь S вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой БрахмагуптыШаблон:Sfn

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

где p, полупериметр, равен $p=\frac{1}{2}(a+b+c+d)$. Утверждение является следствием соотношения Бретшнайдера, поскольку противоположные углы в сумме дают 180°. Если же d= 0, вписанный четырёхугольник становится треугольником, и равенство превращается в формулу Герона.

Вписанный четырёхугольник имеет максимальную площадь среди всех четырёхугольников, имеющих ту же последовательность длин сторон. Это другое следствие соотношения Бретшнайдера. Утверждение можно доказать с помощью математического анализаШаблон:Sfn.

Четыре неравные длины, каждая из которых меньше суммы остальных трёх, являются сторонами трёх неконгруэнтных вписанных четырёхугольниковШаблон:Sfn, и по формуле Брахмагупты все эти треугольники имеют одинаковую площадь. В частности, для сторон a, b, c и d сторона a может быть противоположной любой из сторон b, c или d. Любые два из этих трёх вписанных четырёхугольников имеют диагональ одинаковой длиныШаблон:Sfn.

Площадь вписанного четырёхугольника с последовательными сторонами a, b, c, d и углом B между сторонами a и b можно выразить формулойШаблон:Sfn

$S=\frac{1}{2}(ab+cd)\sin B$

илиШаблон:Sfn

$S=\frac{1}{2}(ac+bd)\sin \theta$

где θ — любой угол между диагоналями. Если угол A не является прямым, площадь можно выразить формулой Шаблон:Sfn

$S=\frac{1}{4}(a^2-b^2-c^2+d^2)\tan A.$

Ещё одна формула площади Шаблон:Sfn

$S=2R^2\sin A\sin B\sin \theta$

где R — радиус описанной окружности. Прямым следствием будет Шаблон:Sfn

$S\le 2R^2$,

и неравенство превращается в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник является квадратом.

Диагонали

Во вписанном четырёхугольнике с вершинами A, B, C, D (в указанной последовательности) и сторонами a = AB, b = BC, c = CD и d = DA длины диагоналей p = AC и q = BD можно выразить через стороны Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn

$p=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}$

и

$q=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}$

что даёт равенство Птолемея

$pq=ac+bd.$

Согласно второй теореме ПтолемеяШаблон:SfnШаблон:Sfn,

$\frac{p}{q}=\frac{ad+bc}{ab+cd}$

при тех же обозначениях, что и прежде.

Для суммы диагоналей имеем неравенство Шаблон:Sfn

$p+q\ge 2\sqrt{ac+bd}.$

Неравенство становится равенством в том и только в том случае, когда диагонали имеют одинаковую длину, что можно показать, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Более тогоШаблон:Sfn,

$(p+q{)}^2\le (a+c{)}^2+(b+d{)}^2.$

В любом выпуклом четырёхугольнике две диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника. Во вписанном четырёхугольнике противоположные пары этих четырёх треугольников подобны.

Если M и N являются средними точками диагоналей AC и BD, то

$\frac{MN}{EF}=\frac{1}{2}|\frac{AC}{BD}-\frac{BD}{AC}|$

где E и F — точки пересечения противоположных сторон.

Если ABCD — вписанный четырёхугольник и AC пересекает BD в точке P, то

$\frac{AP}{CP}=\frac{AB}{CB}\cdot \frac{AD}{CD}.$

Формулы углов

Для вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d, полупериметром p и углом A между сторонами a и d тригонометрические функции угла A равныШаблон:Sfn

$\cos A=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)},$

$\sin A=\frac{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}{(ad+bc)},$

$\tan \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-d)}{(p-b)(p-c)}}.$

Для угла θ между диагоналями выполняетсяШаблон:Sfn

$\tan \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-d)}{(p-a)(p-c)}}.$

Если продолжения противоположных сторон a и c пересекаются под углом $\varphi$, то

$\cos \frac{\varphi }{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-d)(b+d{)}^2}{(ab+cd)(ad+bc)}}$

где p — полупериметрШаблон:Sfn

Формула Парамешвары

Для вписанного четырёхугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и $d$ (в указанной последовательности) и полупериметром $p$ радиус описанной окружности задаётся формулойШаблон:SfnШаблон:Sfn

$R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.$

Формула была выведена индийским математиком Шаблон:Не переведено 5 в 15 веке.

Используя формулу Брахмагупты, формулу Парамешвары можно преобразовать в

$4SR=\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}$,

где $S$ — площадь вписанного четырёхугольника.

Антицентр и коллинеарность

Четыре отрезка прямых, перпендикулярных одной стороне вписанного четырёхугольника и проходящих через середину противоположной стороны, пересекаются в одной точкеШаблон:SfnШаблон:Sfn. Эта точка пересечения называется антицентром. Антицентр симметричен центру описанной окружности относительно "вершинного центроида". Таким образом, во вписанном четырёхугольнике центр описанной окружности, "вершинный центроид" и антицентр лежат на одной прямойШаблон:Sfn.

Если диагонали вписанного четырёхугольника пересекаются в точке P, а середины диагоналей — V и W, то антицентр четырёхугольника является ортоцентром треугольника VWP, а вершинный центроид находится в середине отрезка, соединяющего середины диагоналей Шаблон:Sfn.

Во вписанном четырёхугольнике "центроид площади" G_a, "центроид вершин" G_v и пересечение P диагоналей лежат на одной прямой. Для расстояний между этими точками выполняется равенствоШаблон:Sfn

$P{G}_a=\frac{4}{3}P{G}_v.$

Другие свойства

Японская теорема

• Теорема Монжа об ортоцентре вписанного четырехугольника. 4 отрезка прямых (4 антимедатрисы), проведенных из середин 4 сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно к противолежащим сторонам, пересекаются в ортоцентре Н этого четырехугольника.,

• Японская теорема о вписанном четырёхугольнике. Во вписанном четырёхугольнике ABCD центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB являются вершинами прямоугольника. Это одна из теорем, известных как японская теорема. Ортоцентры тех же четырёх треугольников являются вершинами четырёхугольника, равного ABCD. Центроиды этих четырёх треугольников являются вершинами другого вписанного четырёхугольникаШаблон:Sfn.

• Следствие теоремы о вписанном угле. Во вписанном четырёхугольнике ABCD с центром описанной окружности O пусть P — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда угол APB является средним арифметическим углов AOB и COD. Это является прямым следствием теоремы о вписанном угле и Шаблон:Не переведено 5.

• Теорема о перпендикулярности внутренних биссектрис углов при вершинах E и F, образованных на пересечениях двух пар противоположных сторон вписанного четырёхугольника. Если противоположные стороны вписанного четырёхугольника продолжить до пересечения в точках E и F, то внутренние биссектрисы углов в E и F перпендикулярныШаблон:Sfn.

• Теорема о 4 проекциях 4 вершин вписанного четырёхугольника. Пусть $ABCD$ — вписанный четырёхугольник, $A_1$ — основание перпендикуляра, опущенного из вершины $A$ на диагональ $BD$; аналогично определяются точки $B_1,C_1,D_1$. Тогда точки $A_1,B_1,C_1,D_1$ лежат на одной окружности.

• Теорема о числовом четырехугольнике. Не существует вписанных четырёхугольников с рациональной площадью и неравными рациональными сторонами, образующими арифметическую, либо геометрическую прогрессиюШаблон:Sfn.

• Теорема о числовом четырехугольнике. Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон, образующие арифметическую прогрессию, то четырёхугольник является также Шаблон:Не переведено 5.

Четырёхугольники Брахмагупты

Четырёхугольник БрахмагуптыШаблон:Sfn — это вписанный четырёхугольник с целочисленными длинами сторон, целочисленными длинами диагоналей и целочисленной площадью. Все четырёхугольники Брахмагупты со сторонами a, b, c, d, диагоналями e, f, площадью S, и радиусом описанной окружности R можно получить путём избавления от знаменателя в следующих выражениях (при рациональных параметрах t, u и v):

$a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]$

$b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$

$c=t(1+u^2)(1+v^2)$

$d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$

$e=u(1+t^2)(1+v^2)$

$f=v(1+t^2)(1+u^2)$

$S=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^2)][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^2)]$

$4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Свойства ортодиагональных вписанных четырёхугольников

Площадь и радиус описанной окружности

Пусть для вписанного четырёхугольника, являющегося также ортодиагональным (т.е. имеющим перпендикулярные диагонали), пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длиной p₁ и p₂, а другую делит на отрезки длиной q₁ и q₂. ТогдаШаблон:Sfn (первое равенство является Предложением 11 в книге Архимеда «Леммы»)

$D^2=p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2$,

где D — диаметр описанной окружности. Равенство выполняется ввиду того, что диагонали являются перпендикулярными хордами окружности. Отсюда следует, что радиус описанной окружности R удовлетворяет равенству

$R=\frac{1}{2}\sqrt{p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2}$

или, через стороны четырёхугольника

$R=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+d^2}.$

Отсюда также следует, что

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

Таким образом, согласно формуле Эйлера, радиус можно выразить через диагонали p и q и расстояние x между серединами диагоналей

$R=\sqrt{\frac{p^2+q^2+4x^2}{8}}.$

Формула для площади K вписанного ортодиагонального четырёхугольника можно получить непосредственно через стороны, если скомбинировать теорему Птолемея (см. выше) и формулу площади ортодиагонального четырёхугольника. В результате получим

$S=\frac{1}{2}(ac+bd).$

Другие свойства

• Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналейШаблон:Sfn.

• Теорема Брахмагупты утверждает, что во вписанном четырёхугольнике, являющемся также ортодиагональным, перпендикуляр от любой стороны через точку пересечения диагоналей делит противоположную сторону пополамШаблон:Sfn.

• Если вписанный четырёхугольник является также ортодиагональным, расстояние от центра описанной окружности до любой стороны равно половине длины противоположной стороны Шаблон:Sfn.

• Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей Шаблон:Sfn.

См. также

• Теорема о бабочке
• Описанная окружность
• Степень точки относительно окружности
• Шаблон:Не переведено 5
• Пятиугольник Роббинса
• Внеописанный четырёхугольник
• Четырёхугольник

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга (org. 1952)
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга Перевод Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга (orig. 1930)
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга (orig. 1929)
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга Глава: Solutions: 4-23 Prove that the sum of the squares of the measures of the segments made by two perpendicular chords is equal to the square of the measure of the diameter of the given circle.

• Шаблон:Citation Шаблон:Wayback Перевод с русского издания Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья

Внешние ссылки

• Derivation of Formula for the Area of Cyclic Quadrilateral
• Incenters in Cyclic Quadrilateral at cut-the-knot
• Four Concurrent Lines in a Cyclic Quadrilateral at cut-the-knot
• Шаблон:MathWorld
• Euler centre and maltitudes of cyclic quadrilateral at Dynamic Geometry Sketches, interactive dynamic geometry sketch.