Формула Брахмагупты

Фо́рмула Брахмагу́пты — обобщение формулы Герона, выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.

Формулировка

Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон $a,b,c,d$ и полупериметр $p=\frac{a+b+c+d}{2}$, то его площадь $S$ выражается формулой:

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$

Вариации и обобщения

• Формула Брахмагупты обобщает формулу Герона для площади треугольника: достаточно считать, что длина одной из сторон равна нулю (например, $d=0$).
• На случай произвольных четырёхугольников формула Брахмагупты может быть обобщена следующим образом:

  $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd{\cos }^2\theta },$

где $\theta$ есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять, роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна $\theta$, то полусумма двух других углов будет $180^{\circ }-\theta$, и ${\cos }^2(180^{\circ }-\theta )={\cos }^2\theta .$)

Иногда эту более общую формулу записывают так:

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)}$

где $u$ и $v$ — длины диагоналей четырёхугольника.

• Если четырёхугольник описанный, тогда $p=a+c=b+d$, и обобщённая формула Брахмагупты даёт

  $S=\sqrt{abcd}\sin \theta$.

В частности, для вписанно-описанных четырёхугольников

$S=\sqrt{abcd}$.

• Шаблон:Не переведено доказал, что для любого вписанного многоугольника с $n$ сторонами величина $(4S{)}^2$ является корнем некоторого многочлена $P$, коэффициенты которого в свою очередь являются многочленами от длин сторон. Он нашёл эти многочлены для $n=5$ и $n=6$. Другими авторами установлено, что многочлен $P$ можно выбрать так, чтобы его старший коэффициент был равен единице, а степень $N=N(n)$ была равна ${\mathrm{\Delta }}_k$, если $n=2k+1$ и $2{\mathrm{\Delta }}_k$, если $n=2k+2$. Здесь

  ${\mathrm{\Delta }}_k=\frac{2k+1}{2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})-2^{2k-1}=\sum _{j=0}^{k-1}(k-j)(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k+1}{j}),$

где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})=\frac{k!}{j!(k-j)!}$ — биномиальные коэффициенты. Для многоугольников с небольшим числом сторон имеем ${\mathrm{\Delta }}_1=1$, ${\mathrm{\Delta }}_2=7$, ${\mathrm{\Delta }}_3=38$, ${\mathrm{\Delta }}_4=187,\dots$ (Шаблон:OEIS) и $N(4)=2$, $N(5)=7$, $N(6)=14$, $N(7)=38,\dots$ (Шаблон:OEIS).

• Если в формуле Брахмагупты выразить полупериметр через полусумму всех сторон данного четырехугольника, возвести обе части в квадрат, умножить на -16, раскрыть скобки и привести подобные, то она примет вид:

$-16S^2=a^4+b^4+c^4+d^4-2(a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2+a^2{d}^2+b^2{d}^2+c^2{d}^2)-8abcd$

• Правая часть совпадает с разложением определителя, приведенного ниже, если его умножить на -1. Поэтому можно написать, чтоШаблон:Sfn

$16S^2=-\left|\begin{array}{cccc}a& b& c& -d\\ b& a& -d& c\\ c& -d& a& b\\ -d& c& b& a\end{array}\right|$

• Есть модификация формулы Брахмагупты для геометрии Лобачевского

См. также

• Брахмагупта
• Теорема Брахмагупты
• Формула Герона

Популярная литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией

Научная литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья