Теорема Брахмагупты

$\overline{BD}\perp \overline{AC},\overline{EF}\perp \overline{BC}$ $\Rightarrow |\overline{AF}|=|\overline{FD}|$

Теоре́ма Брахмагу́пты — теорема элементарной геометрии, найденная в седьмом столетии нашей эры индийским математиком Брахмагуптой. Шаблон:Рамка Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке $M$, то прямая, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам. Шаблон:Конец рамки Замечание. По аналогии с серединным перпендикуляром (медиатрисой) к стороне треугольника отрезок $FE$ (на рисунке справа) называют антимедиатрисой противоположных сторон четырёхугольника. С учётом этого замечания теорема Брахмагупты может быть сформулирована в виде: Шаблон:Рамка Две пары антимедиатрис вписанного ортодиагонального четырёхугольника проходят через точку пересечения его диагоналей. Шаблон:Конец рамки

Доказательство

На рисунке изображён вписанный четырёхугольник $ABCD$, имеющий перпендикулярные диагонали $AC$ и $BD$, а прямая $ME$ перпендикулярна стороне $BC$ и пересекает сторону $DA$ в точке $F$. Тогда $\mathrm{\angle }DMF=\mathrm{\angle }BME=\mathrm{\angle }MCE\equiv \mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }ADB\equiv \mathrm{\angle }FDM.$ Следовательно, треугольник $FMD$ — равнобедренный. Аналогично, равнобедренным будет и треугольник $FAM$. Поэтому $|FA|=|FM|=|FD|$.

Антицентр и коллинеарность

Четыре отрезка прямых, перпендикулярных одной стороне вписанного ортодиагонального четырёхугольника и проходящих через середину противоположной стороны, пересекаются в одной точкеШаблон:SfnШаблон:Sfn. Эта точка пересечения называется антицентром. Антицентр симметричен центру описанной окружности относительно «вершинного центроида». Таким образом, во вписанном четырёхугольнике центр описанной окружности, «вершинный центроид» и антицентр лежат на одной прямойШаблон:Sfn.

Обобщения

• Известна теорема: Если в четырёхугольнике перпендикулярны диагонали, то на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника) лежат восемь точек: середины сторон и проекции середин сторон на противоположные стороны Шаблон:Sfn. Из этой теоремы и теоремы Брахмагупты следует, что концы двух пар антимедиатрис (восемь точек) вписанного ортодиагонального четырёхугольника лежат на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника).

Эта теорема обобщает теорему Брахмагупты, однако отсутствие вписанности четырёхугольника в окружность приводит к тому, что его антимедиатрисы пересекаются не в точке, являющейся точкой пересечения его диагоналей.

Литература

• Шаблон:Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией
• Шаблон:Книга:Элементарная геометрия. Понарин
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга