Формула Герона

Фо́рмула Герона — формула для вычисления площади треугольника $S$ по длинам его сторон $a,b,c$:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,

где $p$ — полупериметр треугольника: $p=\frac{1}{2}\cdot (a+b+c)$.

Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Вариации и обобщения

• Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:

  $S=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}$

  $S=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)}$

  $S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}.$

  $S=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2}.$

• Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде:

  $-16S^2=\left|\begin{array}{cccc}0& a^2& b^2& 1\\ a^2& 0& c^2& 1\\ b^2& c^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}a& b& c& 0\\ b& a& 0& c\\ c& 0& a& b\\ 0& c& b& a\end{array}\right|$

Первый определитель последней формулы является частным случаем Шаблон:Iw для вычисления гиперобъёма симплекса.

• Ряд формул для площади треугольника сходен по структуре формуле Герона, но выражается через другие параметры треугольника. Например, через длины медиан $m_a$, $m_b$ и $m_c$ и их полусумму $\sigma =(m_a+m_b+m_c)/2$:

  $S=\frac{4}{3}\sqrt{\sigma (\sigma -m_a)(\sigma -m_b)(\sigma -m_c)}$;

через длины высот $h_a$, $h_b$ и $h_c$ и полусумму их обратных величин $H=(h_a^{-1}+h_b^{-1}+h_c^{-1})/2$:

$S^{-1}=4\sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}$;

через углы треугольника $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, полусумму их синусов $s=(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )/2$ и диаметр описанной окружности $D=\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$:

$S=D^2\sqrt{s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma )}.$

• Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:

  $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$,

где $p=\frac{a+b+c+d}{2}$ — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определитель:

$S=\frac{1}{4}\sqrt{-\left|\begin{array}{cccc}a& b& c& -d\\ b& a& -d& c\\ c& -d& a& b\\ -d& c& b& a\end{array}\right|}$

• Для тетраэдров верна формула Герона — Тартальи, которая обобщена также на случай других многогранников (изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны $l_1,l_2,l_3,l_4,l_5,l_6$, то для его объёма $V$ верно выражение:

  $\begin{array}{cc}144V^2=& l_1^2{l}_5^2(l_2^2+l_3^2+l_4^2+l_6^2-l_1^2-l_5^2)\\ +& l_2^2{l}_6^2(l_1^2+l_3^2+l_4^2+l_5^2-l_2^2-l_6^2)\\ +& l_3^2{l}_4^2(l_1^2+l_2^2+l_5^2+l_6^2-l_3^2-l_4^2)\\ -& l_1^2{l}_2^2{l}_4^2-l_2^2{l}_3^2{l}_5^2-l_1^2{l}_3^2{l}_6^2-l_4^2{l}_5^2{l}_6^2\end{array}$.

• Формула Герона — Тартальи может быть выписана для тетраэдра в явном виде: если $U$, $V$, $W$, $u$, $v$, $w$ являются длинами рёбер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и, например, ребро $u$ противоположно ребру $U$ и так далее), тогда справедливы формулы:

  $\text{V}=\frac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}{192uvw}$

где:

$\begin{array}{cc}a& =\sqrt{xYZ}\\ b& =\sqrt{yZX}\\ c& =\sqrt{zXY}\\ d& =\sqrt{xyz}\\ X& =(w-U+v)(U+v+w)\\ x& =(U-v+w)(v-w+U)\\ Y& =(u-V+w)(V+w+u)\\ y& =(V-w+u)(w-u+V)\\ Z& =(v-W+u)(W+u+v)\\ z& =(W-u+v)(u-v+W)\end{array}$.

• По теореме Люилье площадь сферического треугольника выражается через его стороны ${\theta }_a=\frac{a}{R},{\theta }_b=\frac{b}{R},{\theta }_c=\frac{c}{R}$ как:

  $S=4R^2\mathrm{arctg}\sqrt{\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_a}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_b}{2}\right)\mathrm{tg}\left(\frac{{\theta }_s-{\theta }_c}{2}\right)}$,

где ${\theta }_s=\frac{{\theta }_a+{\theta }_b+{\theta }_c}{2}$ — полупериметр.

Литература

• § 258 в Шаблон:Cite arXiv
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья — доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора